1993　大阪大学　前期MathJax

【１】　平面上の帯状領域

$M=\{(x,y);|y|\leqq 1\}$

内を点$\mathrm{P}$が次のような運動をする．

(イ)　$M$の内部$\{(x,y):|y|<1\}$において$\mathrm{P}$は直進する．

(ロ)　$M$の境界上においては$\mathrm{P}$は図のように等しい角度で反射する．

　次の問に答えよ．

　$n$を負でない整数，$a>0$とする．原点から傾き$a$で右方向に出発した点$\mathrm{P}$が$n$回目と$(n+1)$回目の反射の間で線分$y=x-2({\displaystyle \frac{3}{2}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{5}{2}})$を通過するための$a$の範囲を$n$で表せ．

【２】　$A$を行列$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$A^4$を求めよ．

(2)　自然数$n$に対して，${\displaystyle \sum _{k=1}^{4n}}{A}^k$を求めよ．

【３】　点$(0,1)$を通り曲線$y=x^3-a{x}^2$に接する直線がちょうど$2$本存在するとき，実数$a$の値および$2$本の接線の方程式を求めよ．

【４】　$1$辺の長さ$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$と，$\angle \mathrm{APB}>90\mathrm{°}$を満たす空間内の点$\mathrm{P}$全体のなす集合$S$を考える．

(1)　$S$はどんな集合か．

(2)　$▵\mathrm{ABC}$と$S$の交わりの面積を求めよ．

(3)　正四面体$\mathrm{ABCD}$の表面と$S$の交わりの面積を求めよ．

【１】　負でない整数の組$x_0\text{，}{x}_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3$が$x_{n+1}={x_n}^3+1\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を満たすとき，以下のことを示せ．

(1)　$0\leqq n\leqq 2$に対し，$x_n{x}_{n+1}$は$2$で割り切れる．

(2)　$x_1$を$9$で割った余りは$0\text{，}1\text{，}2$のいずれかである．

(3)　$x_1{x}_2{x}_3$は$18$で割り切れる．

【２】　$1$辺の長さ$2$の正四面体$\mathrm{ABCD}$の表面上にあって$\angle \mathrm{APB}>90\mathrm{°}$を満たす点$\mathrm{P}$全体のなす集合を$M$とする．

(1)　$▵\mathrm{ABC}$上にある$M$の部分を図示し，その面積を求めよ．

(2)　$M$の面積を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$に対して$f(A)=a+d\text{，}g(A)=bc-ad$とおく．

(1)　$A^2=f(A)A+g(A)E$を示せ．ただし$E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$である．

(2)　$n\geqq 1$のとき，$A^{n+1}=p_{n}A+q_{n}E$を満たすような数$p_n\text{，}{q}_n$が存在することを示せ．

(3)　$2$次の正方行列$A\text{，}B$が$f(A)=f(B)>0$および$g(A)=g(B)\geqq 0$を満たし，さらに$A^n=B^n$であるような$n\geqq 2$が存在するとき，$A=B$が成り立つことを示せ．

【４】　$1$から$N$までの番号を書いたボールが$1$個ずつ入った箱の中から無作為にボールを$1$個取り出す試行を考える．ただし，取り出したボールは番号を記録したのち袋に戻すものとする．

　いま$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$ふたりの人がいて，$\mathrm{A}$が$5$回，$\mathrm{B}$が$1$回この試行を行う．$\mathrm{A}$が取り出すボールの番号を試行の順に$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_5$とし，$\mathrm{B}$が取り出すボールの番号を$Y$とするとき，次の問に答えよ．

(1)　$k$を$N$以下の自然数とする．$Y=k$であり，さらに$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_5$のうち少なくとも$4$つが$Y$以下であるという事象の確率$p(N,k)$を求めよ．

(2)　$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_5$のうち少なくとも$4$つが$Y$以下であるという事象の確率を$p(N)$とする．このとき$\underset{N\to \infty }{\lim }p(N)$を求めよ．

【５】　$f(x)$は$2$次の導関数をもち，$f(0)<0$を満たす関数で，さらに次の性質をもつという．原点を$\mathrm{O}$とし，曲線$y=f(x)$上の任意の点$\mathrm{P}(x,y)$に対し，点$(x,y+1)$を$\mathrm{Q}$とするとき，$\angle \mathrm{OPQ}$の二等分線が曲線$y=f(x)$の点$\mathrm{P}$における法線になる．

　このとき，以下の問に答えよ．

(1)　$f(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

(2)　$g(x)=f^{\prime }(x)$とおくとき，$g(x)$の満たす微分方程式を求めよ．

(3)　$f0)=-1$であるとき，$f(x)$の形を決定せよ．