1993　広島大学　前期MathJax

【１】　$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(3,5)\text{，}\overrightarrow{b}=(4,-3)$と実数$t$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}$の長さ$|\overrightarrow{a}+t\overrightarrow{b}|$が最小となる$t$の値$t_0$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}+t_0\overrightarrow{b}$と$\overrightarrow{b}$は直交することを示せ．

【２】　実数$a\text{，}b\text{，}c$に対して，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& c\end{array}\right)$は関係式$A^2=A$を満たしているとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A$は逆行列をもたないことを示せ．

(2)　次の性質をもつ原点を通る直線$l_1\text{，}{l}_2$を見出せ．

(ⅰ)　$l_1$上の任意の点は$A$で定まる$1$次変換によって原点にうつる．

(ⅱ)　$l_2$上の任意の点は$A$で定まる$1$次変換によって動かない．

【３】　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq {\log }_{2}x\\ y\geqq {\log }_{5}x\\ y\geqq 1\end{array}$

によって表される領域を$D$とする．自然数$n$に対して，$D$に含まれる点$(x,y)$で不等式$y\leqq n$を満たし，さらに$x\text{，}y$がともに整数であるような点の個数を$a_n$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_n$を求めよ．

(2)　不等式$a_n\geqq 750$が成り立つような最小の$n$の値を求めよ．

【４】　分子が等差数列，分母が引き続く$3$つの整数の積である分数からなる数列${\displaystyle \frac{7}{1\cdot 2\cdot 3}}\text{，}{\displaystyle \frac{11}{2\cdot 3\cdot 4}}\text{，}{\displaystyle \frac{15}{3\cdot 4\cdot 5}}\text{，}\cdots$の第$n$項を$a_n$とする．

(1)　$a_n=A({\displaystyle \frac{1}{n}}-{\displaystyle \frac{1}{n+1}})+B({\displaystyle \frac{1}{n+1}}-{\displaystyle \frac{1}{n+2}})$と表すとき，定数$A\text{，}B$を求めよ．

(2)　初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ．

【５】　$3$次曲線

$y=x^3+3a{x}^2+b\text{（}a>0\text{，}b\ne 1\text{）}$

が，直線$y=1$と接するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b$の関係式を求めよ．

(2)　直線$y=1$と上の$3$次曲線で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　空間内の$2$つの直線$l_1\text{：}x-1={\displaystyle \frac{y}{2}}=z\text{，}{l}_2\text{：}x={\displaystyle \frac{y-2}{-2}}=z-1$に対して，次の問いに答えよ．

(1)　$l_1$上の点$(t+1,2t,t)$を通り，$l_1$と直交する平面${\alpha }_t$の方程式を求めよ．

(2)　$l_2$と${\alpha }_t$の交点を求めよ．

(3)　$l_1\text{，}{l}_2$の両方に直交する直線$l$の方程式を求めよ．

【２】　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{P}\text{，}$辺$\mathrm{BC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．ただし，$0<t<1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　辺$\mathrm{AC}$の中点を$\mathrm{M}$とし，直線$\mathrm{PQ}$と直線$\mathrm{BM}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，線分の長さの比${\displaystyle \frac{\mathrm{BR}}{\mathrm{BM}}}$を$t$の関数として表せ．

(2)　(1)の比のとる値の範囲を求め，直線$\mathrm{PQ}$は三角形$\mathrm{ABC}$の重心を通らないことを示せ．

【３】　$a\text{，}c\text{，}p$は$a^2-p{c}^2=1$を満たす正の実数とする．行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& pc\\ c& a\end{array}\right)$を考え，

$A^n\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ c_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

とおく．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　行列$A$で定まる$1$次変換で，点$(x,y)$が点$(X,Y)$にうつされるとき，関係式$x^2-p{y}^2=X^2-p{Y}^2$が成り立つことを示せ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，$c_n>c{a}^{n-1}$を示せ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{a_n}{c_n}}=\sqrt{p}$を示せ．

【４】　自然数$n$に対して，関数$f_n(x)=x^n{e}^{-x}$を考える．

(1)　$x\geqq 0$における$f_n(x)$の最大値を求めよ．

(2)　$n\geqq 2$のとき，不等式${(1+{\displaystyle \frac{1}{n}})}^n<e<{(1+{\displaystyle \frac{1}{n-1}})}^n$が成り立つことを示せ．

【５】　$a>1\text{，}0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$のとき，$2$つの曲線

$y={\displaystyle \frac{\sqrt{2}\sin x}{\sqrt{\sin 2x+a}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\sin 2x+a}}}$

および$y$軸で囲まれる部分を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【６】　右の図のような$n$段のはしご状のスイッチ回路網を考える．各スイッチ$\mathrm{S}$は独立に作動し，$\mathrm{ON}$（閉）である確率を${\displaystyle \frac{1}{2}}\text{，}\mathrm{OFF}$（開）である確率を${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．端子$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$が電気的に導通している確率を$p_n$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を求めよ．