1994　大学入試センター試験　本試験　数学IIMathJax

【１】　$▵\mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=2\text{，}$$\mathrm{BC}=5\text{，}$$\angle \mathrm{ABC}=60°$とする．このとき

$\mathrm{CA}=\sqrt{\boxed{\text{アイ}}}$

である．

　辺$\mathrm{AB}$の中点を$\mathrm{M}$，頂点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{H}$とする．このとき

${\displaystyle \frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{BC}}=\frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

であるから

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．したがって

$\overrightarrow{\mathrm{MH}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．

　さらに，$k>1$とし，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=k\overrightarrow{\mathrm{AH}}$となる点$\mathrm{D}$をとる．

(1)　直線$\mathrm{BD}$と直線$\mathrm{AC}$が平行であるときには，$k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}$である．

(2)　直線$\mathrm{CD}$と直線$\mathrm{MH}$が垂直に交わっているとき，その交点を$\mathrm{E}$とすれば

$\angle \mathrm{CHE}=\boxed{\text{タチ}}°$

であるから

• $\mathrm{HE}=\boxed{\text{ツ}}$
• $\mathrm{AD}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{テ}}\sqrt{\boxed{\text{ト}}}}{\boxed{\text{ナ}}}}$

である．したがって

• $k={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}$
• $\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ネ}}}{\boxed{\text{ノ}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{\boxed{\text{ハ}}}{\boxed{\text{ヒ}}}\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$

である．

【２】(1)　$3$次関数

$f(x)=x^3+p{x}^2+qx+r$

は$x=0$で極大，$x=m$で極小となり，極小値は$0$であるとする．

　このとき

$p=-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}m\text{，}$$q=\boxed{\text{ウ}}$

であり，$f(x)$は

$f(x)={(x-m)}^2(x+{\displaystyle \frac{m}{\boxed{\text{エ}}}})$

と因数分解できる．

　さらに，極大値が$4$であるとする．このとき

$m=\boxed{\text{オ}}$

となり，$f(x)$は

$f(x)={(x-\boxed{\text{オ}})}^2(x+\boxed{\text{カ}})\cdots \text{①}$

となる．

(2)　$\text{①}$の$f(x)$について，$y=f(x)$の表す曲線を$C$とし，$4$直線

$x=0\text{，}$$y=0\text{，}$$x=4\text{，}$$y=4$

で囲まれる正方形を$D$とする．

　正方形$D$は曲線$C$によって$3$つの部分に分割され，その面積は小さい方から順に

$\boxed{\text{キ}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{クケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\text{，}$${\displaystyle \frac{\boxed{\text{サシ}}}{\boxed{\text{ス}}}}$

である．

　$D$を$x$軸方向に$k$だけ平行移動した正方形が曲線$C$によって$3$個に分割されるのは

$\boxed{\text{セソ}}<k\leqq \boxed{\text{タチ}}$または$\boxed{\text{ツ}}\leqq k<\boxed{\text{テ}}$

のときである．

【３】　赤い玉，白い玉，青い玉がそれぞれ$3$個ずつ入った袋がある．

　赤い玉には$1\text{，}1\text{，}2\text{，}$白い玉には$1\text{，}2\text{，}2\text{，}$青い玉には$2\text{，}2\text{，}2$という数字がそれぞれ一つずつ書いてある．

　この袋の中から玉を$1$個ずつ$3$回取り出すことを考える．ただし，赤い玉を取り出したときは袋に戻し，白い玉と青い玉のときには戻さないことにする．

(1)　$3$回とも赤い玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イウ}}}}$である．

　$3$回とも青い玉を取り出す確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}}{\boxed{\text{オカ}}}}$である．

　取り出した玉の色が赤，青，青の順になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{クケ}}}}$である．

　取り出した玉の色が青，青，赤の順になる確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サシ}}}}$である．

(2)　$2$回目に取り出した玉に書いてある数字が$1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{スセ}}}{\boxed{\text{ソタ}}}}$である．また，取り出した玉に書いてある数字が$3$回とも$1$である確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{チツテ}}}{\boxed{\text{トナニヌ}}}}$である．