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1994-10000-0301
1994 大学入試センター試験 追試
数学I
〔2〕と合わせて配点35点
正解と配点
易□ 並□ 難□
【1】
〔1〕 a は正の整数とする.整式
f⁡(x )=x4 −a⁢ x3− (a+1 )⁢ x2+ a3⁢ x−a 2
は x −1 で割り切れるものとする.
このとき a = ア であり, f⁡( x) は
f⁡(x )=( x− イ ) 2⁢ (x− ウ ) ⁢(x+ エ )
と因数分解される.
さらに
g⁡(x )=x2 +b⁢ x+c
が f ⁡(x ) の約数で, g⁡ (−3 ) が 5 の倍数ならば
b= オカ , c= キ
または
b= ク , c= ケコ
である.
1994-10000-0302
〔1〕と合わせて配点35点
〔2〕 x は実数とする.
(1) x2− 5⁢x− 5≦0 を満たす整数 x の最大値は サ , 最小値は シ である.
|x 2−x −3 | <3 を満たす x は
スセ < x< ソ または タ <x < チ
(2) 次の文中の ツ , テ にあてはまるものを,下の条件 1 〜 5 のうちから選べ.
x2 −x− 2=0 が成り立つための必要十分条件は, 1 と ツ の両方が成り立つことである.
3 は テ が成り立つための必要条件であるが十分条件ではない.
1994-10000-0303
配点35点
【2】 2 次関数 f⁡ (x)= x2− (4⁢a +2)⁢ x+5⁢ a2+ 7⁢a− 2 を考える.
放物線 y =f⁡( x) の頂点 P の座標は
( ア ⁢a + イ ,a 2+ ウ ⁢ a− エ )
放物線 f ⁡(x) を x 軸方向に −3 ⁢a− 3, y 軸方向に − a2 +a+2 だけ平行移動した曲線の方程式を y =g⁡ (x) とすれば
g⁡(x )= (x +a+ オ ) 2+ カ ⁢a − キ
である.曲線 y=g⁡ (x) が y 軸と交わる点 Q の座標は
(0, a2+ ク ⁢a + ケ )
放物線 y =f⁡ (x) が x 軸と 2 点で交わるような a の範囲は
− コ − サシ ス <a < − コ + サシ ス
また, PQ=5 ならば, a の値は − セ または − ソ タチ である.
a= − セ のとき, 0≦x における関数 y =f⁡ (x) の逆関数は
y=x + ツ − テ
であり,その定義域は ト ≦ x である.
1994-10000-0304
配点30点
【3】 ▵ABC において AB =10 , AC= 6 とし,辺 BC を 5: 3 に内分する点を D とする.ただし, ∠BAD と ∠ CAD はともに鋭角であるとする. D から直線 AB に引いた垂線と直線 AB との交点を P , D から直線 AC に引いた垂線と直線 AC との交点を Q とし, AP: AQ=3 : 1 とする.
∠BAD= α , ∠ CAD=β とおくと
cos⁡α : cos⁡β = ア : 1
である.また, ▵ABD と ▵ ACD の面積を比べると
▵ABD の面積 ▵ ACD の面積 = イ ウ = エ ⁢ sin⁡ α オ ⁢ sin⁡ β
であるから
sin⁡α : sin⁡β = カ : キ
である.したがって, cos⁡α = ク ケ であるから
α= コサ ° , β= シス °
さらに, BC= セ であり