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1994-10001-0201
1994 北海道大学 後期
理I系
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 y= log⁡x と 3 直線 y= x, x=a ,x=1 +a で囲まれる部分の面積を S とする.ただし, a>0 とする.
(1) S を a で表せ.
(2) S を最小にする a の値を求めよ.
(3) S の最小値を 12+ log⁡k と表すとき, k の値を求めよ.
1994-10001-0202
【2】 放物線 y= 2⁢ x2+ 28 を時計回りに原点を中心に π4 回転した図形を C とする.
(1) C の方程式を求めよ.
(2) 直線 x= a が C と接しているとき, a の値を求めよ.
(3) C と直線 x= 1 とで囲まれる図形を x 軸のまわりに回転して得られる図形の体積 V を求めよ.
1994-10001-0203
【3】 三角形 ABC に対して,その内接円の半径を 1 ,▵ABC の面積を V とする.半径 d の円の中心がこの三角形の周上をすべて動くとき,その円が通る図形を S とする.ただし, 0<d <1 とする.
(1) ∠A=α ,∠ B=β ,∠C= γ として, V を α , β ,γ で表せ.
(2) S の面積を V と d で表せ.
1994-10001-0204
【4】 n を正の整数とする. 1 から 6 までの目が等しい確率で出るサイコロを用いて試行を行う.サイコロを連続して投げて出た目を加えていき,その目の和が初めて 6 の倍数になるか,あるいは, n 回目を投げ終えたとき試行が終了するものとする.
(1) 1≦k≦ n に対して,試行が k 回目で終了する確率を求めよ.
(2) 試行が終了するのに要する回数の期待値 En を求めよ.また, limn→ ∞⁡ En を求めよ.