1994　東北大学　前期MathJax

【１】　$x$に関する$3$次方程式

${(x+a)}^3-3x-a^2=0$

が負の解をもたないように実数$a$の範囲を定めよ．

【２】　原点を$\mathrm{O}$とする空間に$3$点$\mathrm{A}(a,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,b,0)\text{，}\mathrm{C}(0,0,c)$をとり，四面体$\mathrm{OABC}$を考える．ただし，$a>0\text{，}b>0\text{，}c>0$とする．

(ⅰ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面の方程式，および，原点とこの平面との距離$h$を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(ⅱ)　$▵\mathrm{ABC}$の面積を$a\text{，}b\text{，}c$で表せ．

(ⅲ)　$▵\mathrm{ABC}\text{，}▵\mathrm{OAB}\text{，}▵\mathrm{OBC}\text{，}▵\mathrm{OCA}$の面積をそれぞれ$S_0\text{，}{S}_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3$とし，各三角形の単位法線ベクトルで四面体$\mathrm{OABC}$の内部から外に向かうものを$\overrightarrow{u_0}\text{，}\overrightarrow{u_1}\text{，}\overrightarrow{u_2}\text{，}\overrightarrow{u_3}$とする．ベクトル

$S_0\overrightarrow{u_0}+S_1\overrightarrow{u_1}+S_2\overrightarrow{u_2}+S_3\overrightarrow{u_3}$

を求めよ．

【３】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}\sin \theta & 2\cos \theta \\ a& b\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{2}\sin \theta & a\\ 2\cos \theta & b\end{array}\right)$

において，$A$は逆行列$A^{-1}$をもち，$0°\leqq \theta \leqq 180°\text{，}ab\geqq 0$とする．$B=3A^{-1}$が成り立つとき，次に答えよ．

(ⅰ)　$A$を求めよ．

(ⅱ)　$A$の表す$xy$平面上の$1$次変換によって，円$x^2+y^2=1$はどのような図形に移るか．その方程式を求めよ．

【４】　$2$次関数$f_n(x)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を次のように定義する．

$f_1(x)=3x^2\text{，}{f}_2(x)=3x^2+4x\text{，}$

$f_n(x)=3x^2+4x{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{n-1}(t)dt-{\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{n-2}(t)dt\text{（}n\geqq 3\text{）}$

(ⅰ)

$a_1=0\text{，}$

$a_n={\displaystyle {\int }_0^1}{f}_{n-1}(t)dt\text{（}n\geqq 2\text{）}$

とおくとき，$a_n$を$a_{n-1}$と$a_{n-2}$で表す漸化式を求めよ．

(ⅱ)　$f_n(x)$を求めよ．

【２】　$n$を$1$以上の整数とする．区間$0\leqq x\leqq 1$で連続な関数$f(x)$が，整数$k=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n-1$に対して，次を満たしているものとする．

${\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{k}f(x)dx=0$

(ⅰ)　$t$が実数全体を動くときの

$g(t)={\displaystyle {\int }_0^1}{|x-t|}^{n}dx$

の最小値と，それを与える$t$の値を求めよ．

(ⅱ)　すべての実数$t$に対して，次の等式が成り立つことを示せ．

${\displaystyle {\int }_0^1}{(x-t)}^{n}f(x)dx={\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{n}f(x)dx$

(ⅲ)　関数$|f(x)|$の$0\leqq x\leqq 1$における最大値を$M$とするとき，

$|{\displaystyle {\int }_0^1}{x}^{n}f(x)dx|\leqq {\displaystyle \frac{M}{2^n(n+1)}}$

を示せ．

【４】　$N$を$2$以上の整数とする．$\mathrm{A}$チームと$\mathrm{B}$チームがある試合をくり返して行い，先に$N$勝したチームを優勝とする．各試合において引き分けはないものとし，それぞれの勝つ確率は${\displaystyle \frac{1}{2}}$とする．$X$回目の試合で優勝チームが決まったものとして，次に答えよ．

(ⅰ)　$P(X\leqq N+1)$を求めよ．

(ⅱ)　$P(X=N+j)\text{（}j=0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}N-1\text{）}$を求めよ．

(ⅲ)　$a_n={\displaystyle \sum _{j=0}^n}{}_{n+j}C_j{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^j\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【５】　$xy$平面上に曲線$C:y=f(x)$があり，関数$f(x)$は微分可能とする．$C$を原点のまわりに$30°$回転させた曲線を$C_1$とし，そのとき点$\mathrm{P}(x,f(x))$が点${\mathrm{P}}_1$に移るものとする．

(ⅰ)　点${\mathrm{P}}_1$の座標を求めよ．

(ⅱ)　点${\mathrm{P}}_1$の$y$座標が

$1+{\displaystyle {\int }_0^x}f(t)dt$

に等しいものとして，関数$f(x)$の満たす微分方程式を導け．

(ⅲ)　(ⅱ)の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．

【６】　$x$に関する多項式$P_n(x)\text{（}n=0\text{，}1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$が，すべての実数$\theta$に対して

$P_n(\cos \theta )=\cos n\theta$

を満たすものとする．

(ⅰ)　$P_{n+1}(x)+P_{n-1}(x)$を，$P_n(x)$を用いて表せ．また$P_n(x)$の次数を求めよ．

(ⅱ)　$P_5(x)$を求めよ．

(ⅲ)　方程式$P_5(x)=1$の異なる実数解の個数を求めよ．

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