1994　筑波大学　前期MathJax

【１】　$p\text{，}q$は正の実数とする．関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(t^2-2pt+p^2-q^2)dt$

の区間$0\leqq x\leqq 2p$における最大値を求めよ．

【２】　曲線$xy=1$上に$2$点$\mathrm{A}(1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1)$をとる．直線$y=x$に関する点$\mathrm{R}$の対称点を${\mathrm{R}}^{\prime }$とする．$\mathrm{R}$がこの曲線上（ただし$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$を除く）を動くとき，直線$\mathrm{RA}$と直線${\mathrm{R}}^{\prime }\mathrm{B}$との交点$\mathrm{P}$の軌跡を求めよ．

【３】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& c\end{array}\right)\text{，}S=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)$は$AS=SA$を満たしている．ただし，$a\text{，}b\text{，}c$は実数とする．

(1)　逆行列${(S-A)}^{-1}$が存在することを示せ．

(2)　行列$T=(S+A){(S-A)}^{-1}$を求めよ．

(3)　直線${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y=1$が行列$T$の表す$1$次変換によって直線$-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y=1$に移されるとする．このとき，$A$を求めよ．

【４】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{1+e^{-x}}}$について次の問に答えよ．

(1)　導関数$f^{\prime }(x)$の最大値を求めよ．

(2)　方程式$f(x)=x$はただ$1$つの実数解を持つことを示せ．

(3)　漸化式

$a_{n+1}=f(a_n)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で与えられる数列$\{a_n\}$は，初項$a_1$の値によらず収束し，その極限値は(2)の方程式の解になることを示せ．

【５】(1)　実数$a$に対して，定積分

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}(1-\left|t\right|)\cos (at)dt$

を求めよ．

(2)　関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_{-1}^1}(1-\left|t\right|)\cos (at)dt$

は$x=0$において連続であることを示せ．

志望別問題選択一覧

第一学群

　社会学類　【１】〜【３】必須

　自然学類　【１】〜【５】必須

第二学群

　人間学類　代数・幾何，基礎解析選択　【１】〜【３】必須

　人間学類　基礎解析，微分・積分選択　【１】，【４】，【５】必須

　生物学類　【１】〜【５】必須

　農林学類　【１】，【３】，【４】から２問を選択解答

第三学群

　社会工学類　【１】，【３】〜【５】必須

　国際総合学類　【１】〜【３】必須

　情報学類，工学システム学類，基礎工学類　【１】〜【５】必須

医学専門学群　【１】〜【５】必須