1994　東京工業大学　前期MathJax

【１】　放物線$y=x^2$を$C$とし，$2$つの異なる点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$は$C$上を動くものとする．直線$\mathrm{PQ}$と$C$とで囲まれる図形の面積が，一定の値${\displaystyle \frac{1}{6}}$をとるとき，曲線$C$の$\mathrm{P}$における接線と$\mathrm{Q}$における接線との交点$\mathrm{R}$は，どのような曲線上を動くか．その方程式を求めよ．

【２】　双曲線$xy=-2$を$C$とする．$C$上の点$\mathrm{P}(t,-{\displaystyle \frac{2}{t}})\text{（}t\ne 0\text{）}$を，原点を中心とし反時計回りに角度$\theta$だけ回転した点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)　$\mathrm{Q}$の座標を$\theta$と$t$とを用いて表せ．

(2)　$\theta$を固定し$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\mathrm{Q}$はどのような曲線をえがくか．その方程式を求めよ．

(3)　$\mathrm{Q}$のえがく曲線が，点$(\sqrt{3}+1,\sqrt{3}-1)$を通るような$\theta$の値を，$0<\theta <2\pi$の範囲ですべて求めよ．

【３】(1)　定積分${\displaystyle {\int }_0^{\pi }}{e}^{-x}\sin xdx$を求めよ．

(2)　極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^{n\pi }}{e}^{-x}|\sin x|dx$を求めよ．

【４】　$2$つの負でない整数$m\text{，}n$に対して，和

$({\displaystyle \sum _{k=1}^{m+n}}k)+n$

を考え，これを$f(m,n)$と書くことにする．ただし$f(0,0)=0$とする．

(1)　$f(m,n)\leqq 5$をみたす点$(m,n)$の位置を，座標平面上に図示せよ．

(2)　$f(m,n)=f(m^{\prime },n^{\prime })$ならば$(m,n)=(m^{\prime },n^{\prime })$であることを示せ．

【５】　放物線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}$と，放物線$y=-x^2-16x-65$上の点$\mathrm{Q}$に対して，線分$\mathrm{PQ}$を考える．このとき線分$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を求めよ．