1994　一橋大学　前期MathJax

【１】(1)　実数$x\text{，}y$が等式

$x^2-2xy+y^2-x-y=0\cdots \text{①}$

をみたし，$x-y$が整数ならば，$x$も$y$も整数であることを示せ．

(2)　等式$\text{①}$をみたす格子点$(x,y)$のうちで点$(100,100)$に最も近いものを求めよ．ただし格子点とは，$x$座標，$y$座標がともに整数であるような座標平面上の点のことである．

【２】　$2$つの関数

$f(x)=-|x-1|+2|x+1|-3x-1$

$g(x)=-2|x-1|+|x+1|-2x+1$

を考える．

(1)　$y=f(x)$のグラフと$y=g(x)$のグラフとを描け．

(2)　$y=f(x)$のグラフを$y=g(x)$のグラフにうつす一次変換を表す行列を求めよ．

【３】　$3$次関数

$f(x)=-x^3+a{x}^2+bx+c$

は次の条件(ア)，(イ)，(ウ)をみたす．

(ア)　$x=0$で極大値をとる．

(イ)　極小値は$-1$である．

(ウ)　$y=f(x)$のグラフと直線$y=-1$とで囲まれる図形$F$の面積は${\displaystyle \frac{27}{4}}$である．

このとき，次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　図形$F$のうち第$2$象限に含まれる部分の面積を$S\text{，}$第$3$象限に含まれる部分の面積を$T$とするとき，$S>T$であることを示せ．

【４】　三角すい$\mathrm{ABCD}$において

$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=1\text{，}\mathrm{DA}=\mathrm{DB}=\mathrm{DC}=d$

が成り立っている．

(1)　$d$のとりうる値の範囲を求めよ．

(2)　点$\mathrm{P}$が辺$\mathrm{AB}$上を動き，点$\mathrm{Q}$が辺$\mathrm{CD}$上を動くとき，$\mathrm{PQ}$の長さの最小値を$d$で表せ．

【５】　袋の中に$12$枚の札があり，そのうちの$4$枚には$1$が，別の$4$枚には$2$が，残りの$4$枚には$3$が書かれている．袋の中から無作為に札を$1$枚取り，取った札に書かれている数を得点とする操作を繰り返す．ただし一度取った札はもとに戻さないものとする．

(1)　$3$回の操作を行ったとき得点の合計が$6$である確率を求めよ．

(2)　得点の合計が初めて$4$以上になったところで操作をやめるとする．やめたときの得点の合計が$4$である確率を求めよ．