1994　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　自然数$1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$を下図のように三角形状に並べる．

$\begin{array}{cccccc}& & & & & 1\\ & & & & 2& 3& 4\\ & & & 5& 6& 7& 8& 9\\ & & 10& 11& 12& 13& 14& 15& 16\\ & 17& 18& 19& 20& 21& 22& 23& 24& 25\\ 26& 27& 28& \cdots \end{array}$

このとき，中央に縦に並ぶ数列

$1\text{，}3\text{，}7\text{，}13\text{，}21\text{，}\cdots$

について，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　連続する項の積$a_n{a}_{n+1}$はこの数列のある項$a_m$に一致することを示せ．

【２】　$xyz$空間内に$4$点$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0,1)\text{，}\mathrm{P}(0,t,t)$がある．ただし，$t$は$0$でない定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　$4$点$\mathrm{O}\text{，}\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{P}$を通る球面$S$の方程式を求めよ．

(2)　$S$の半径を最小にする$t$の値とそのときの半径を求めよ．

【３】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{PQR}$があって，関係式

$-\overrightarrow{\mathrm{AP}}+\overrightarrow{\mathrm{BP}}+\overrightarrow{\mathrm{CP}}=\overrightarrow{\mathrm{AQ}}-\overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=\overrightarrow{\mathrm{AR}}+\overrightarrow{\mathrm{BR}}-\overrightarrow{\mathrm{CR}}$

を満たしている．次の問いに答えよ．

(1)　$2\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{QP}}$であることを示せ．

(2)　三角形$\mathrm{ABC}$と三角形$\mathrm{PQR}$が相似であることを示せ．

【４】　関数$f(x)=x^3-3x-2$について，次の問いに答えよ．

(1)　$x$についての方程式

$f(x)=f(x-k)$

が重解を持つように正の定数$k$の値を定めよ．また，その重解を$\alpha$とする．$\alpha$を求めよ．

(2)　(1)で求めた$k$と$\alpha$の値を用い，関数$g(x)$を

$g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& \text{（}x\leqq \alpha \text{のとき）}\\ f(x-k)& \text{（}x>\alpha \text{のとき）}\end{array}$

と定義する．曲線

$C:y=g(x)$

の概形を描け．

(3)　(2)の$C$と$x$軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を正の定数とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　次のことが成り立つための$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の満たすべき条件を求めよ．

(2)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$が(1)で求めた条件を満たすとき，$2$次方程式

$t^2-(a+d)t+ad-bc=0$

は$0<t<1$の範囲に少なくとも$1$つの解をもつことを示せ．

【２】　点$\mathrm{P}$は放物線$y=x^2+ax+5$上を動き，点$\mathrm{Q}$は直線$y=2x$上を動く．$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の距離$\mathrm{PQ}$の最小値が$\sqrt{5}$であるとき，次の問いに答えよ．

(1)　定数$a$の値を求めよ．

(2)　$\mathrm{PQ}=\sqrt{5}$となる$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$を$a_1=b_1=1$と関係式

$\{\begin{array}{c}{a}_{n+1}-2b_{n+1}-7b_n=0\\ b_{n+1}-a_n+2b_n=0\end{array}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)

$\left(\begin{array}{c}{a}_{n+1}\\ b_{n+1}\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす行列$A$を求めよ．また$A^2$を求めよ．

(2)　$a_n\text{，}{b}_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．

【４】　関数

$f(\theta )=2(\sin \theta +\cos \theta )+\sin 2\theta -4({\sin }^3\theta +{\cos }^3\theta )+2({\sin }^4\theta +{\cos }^4\theta )$

について，次の問いに答えよ．

(1)　$t=\sin \theta +\cos \theta$とするとき，$f(\theta )$を$t$の式で表せ．

(2)　$\theta$が$0\leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，$f(\theta )$の最大値とそのときの$\theta$の値を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=\log (\tan {\displaystyle \frac{x}{2}})$の$x={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$における微分係数を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(2)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}}{\sin }^3\theta \cos 2\theta d\theta$

を計算せよ．

【２】　曲線$y=\sqrt{1-x^2}$と折れ線$y=|x-a|$が交わるとき，それらが囲む図形を$x$軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．ただし，$a$は定数とする．

【３】　実数の定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$は$ad\ne bc$を満たすとする．

と表し，

$\overrightarrow{v}=s\overrightarrow{p}-t\overrightarrow{q}$

により$\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$を定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{v}$に移す行列を求めよ．

(2)　さらに，$a=d\text{，}b=-c$とする．$x$と$y$が

$x^2+xy+y^2=1$

を満たすとき，${\left|\overrightarrow{v}\right|}^2$がとる値の範囲を求めよ．

【４】　実数$x\text{，}y\text{，}z$を係数とする$t$についての方程式

$x{t}^2+yt+z=0$

を考える．この方程式が実数解をもち，かつ，

$-1\leqq x\leqq 1\text{，}1\leqq y\leqq 2\text{，}-1\leqq z\leqq 1$

を満たすような$x\text{，}y\text{，}z$を座標とする空間の点$(x,y,z)$の集合$V$について，次の問いに答えよ．

(1)　平面$y=u\text{（}1\leqq u\leqq 2\text{）}$で$V$を切ったときの切り口の面積を$u$で表せ．

(2)　$V$の体積を求めよ．

【５】　あるゲームでは，$N$個（$N\geqq 2$）の問題が用意されており，第$k$問の正解に対して$2^{k-1}$点（$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}N$）の得点が与えられる．解答者は第$1$問を解答した後，次のルールに従ってゲームを行う．

(a)　正解の場合，次問に進むか，あるいはゲームを降りるか，$2$つの選択肢がある．後者の場合は，それまでの正解に対する得点の合計を獲得し終了する．

(b)　誤答の場合，それまでに得たすべての得点を失い終了する．

(c)　全問正解の場合，すべての得点の合計を獲得し終了する．

　いま，各問において，正解の確率を$p\text{，}$正解の場合　次問に進むことを選択する確率を$q$とみなして，次の問いに答えよ．

(1)　解答者が第$k$問（$1\leqq k\leqq N-1$）まで進み第$k$問に正解し，かつ第$(k+1)$問に進まずゲームを降りる確率を求めよ．

(2)　解答者の獲得する得点の期待値を求めよ．