1994　新潟大学　前期MathJax

【１】　$a\text{，}b$を相異なる素数とする．数列$a\text{，}b\text{，}{a}^2\text{，}ab\text{，}{b}^2\text{，}{a}^3\text{，}{a}^{2}b\text{，}a{b}^2\text{，}{b}^3\text{，}\cdots$について，次の問いに答えよ．ただし，この数列の各項は$a^m{b}^n$（$m\text{，}n$は負でない整数で，$m+n\geqq 1$）の形で，$a^m{b}^n$なる項の次の項は，$m=0$ならば，$a^{n+1}\text{，}m\geqq 1$ならば，$a^{m-1}{b}^{n+1}$である．

(1)　第$20$項および第$50$項を求めよ．

(2)　第$120$項から第$135$項までの積を求めよ．

(3)　$a^m{b}^n$は第何項か．

【２】　座標平面において，動点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$はそれぞれ$x$軸，$y$軸上を$\mathrm{AB}=2$を満たしながら動くものとする．線分$\mathrm{AB}$の延長上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を$\mathrm{AP}=2\text{，}\mathrm{BQ}=1$となるようにとる．

　このとき，線分$\mathrm{PQ}$の端点$\mathrm{P}$のえがく曲線の方程式および端点$\mathrm{Q}$のえがく曲線の方程式をそれぞれ求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}$における曲線$C:y=x^3-3x$の接線を$l_1$とする．点$\mathrm{P}$を$\mathrm{O}$と異なる$l_1$上の点とし，$\mathrm{P}$より$C$へひいた接線で$l_1$と異なるものを$l_2\text{，}\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線を$l_3$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$p\text{（}p>0\text{）}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$l_1$の方程式を求めよ．また，$l_2$の$p$を含んだ方程式を求めよ．

(2)　曲線$C$と$2$直線$l_1\text{，}{l}_3$によって囲まれた図形の面積を$S_1\text{，}$曲線$C$と$2$直線$l_2\text{，}{l}_3$によって囲まれた図形の面積を$S_2$とするとき，${\displaystyle \frac{S_1}{S_2}}$の値を求めよ．

【４】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)\text{（}{a}^2+b^2<1\text{，}b>0\text{）}$によって表される$1$次変換を$f$とする．$\mathrm{O}$を原点とする座標平面上に点$\mathrm{P}(1,0)$と点$\mathrm{Q}({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}})$をとる．$1$次変換$f$によって$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はそれぞれ${\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{Q}}^{\prime }$にうつるものとする．$\angle \mathrm{PO}{\mathrm{P}}^{\prime }=\theta$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\sin \theta \text{，}\cos \theta$の値，線分$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }\text{，}\mathrm{O}{\mathrm{Q}}^{\prime }\text{，}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の長さ，および三角形$\mathrm{O}{\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{3}}$のとき，線分$\mathrm{OQ}$と${\mathrm{P}}^{\prime }{\mathrm{Q}}^{\prime }$の交点を$\mathrm{R}$として，三角形$\mathrm{OR}{\mathrm{Q}}^{\prime }$の面積を$a\text{，}b$で表せ．

【１】　$f(x)$を$x$の$4$次関数とし，$a\text{，}b$を正の定数とする．曲線$y=f(x)$は，$2$点$\mathrm{A}(-a,0)\text{，}\mathrm{B}(a,0)$で$x$軸に接し，$y$軸と点$\mathrm{C}(0,b)$で交わっているものとする．このとき，この曲線と$x$軸とで囲まれた図形の面積と三角形$\mathrm{ABC}$の面積の比を求めよ．

【２】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$と$1$点${\mathrm{A}}_1$がある．この平面上に点${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{C}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}{\mathrm{C}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$を次のようにとる．ただし，$p$は$1$でない正の定数である．

$\begin{array}{lll}\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}=p\overrightarrow{\mathrm{AB}}\text{，}& \overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}=p^2\overrightarrow{\mathrm{BC}}\text{，}& \overrightarrow{{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2}=p^3\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\\ \overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2}=p^3\overrightarrow{{\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1}\text{，}& \overrightarrow{{\mathrm{B}}_2{\mathrm{C}}_2}=p^3\overrightarrow{{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1}\text{，}& \overrightarrow{{\mathrm{C}}_2{\mathrm{A}}_3}=p^3\overrightarrow{{\mathrm{C}}_1{\mathrm{A}}_2}\end{array}$

　このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{{\mathrm{A}}_2{\mathrm{A}}_3}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$および$p$を用いて表せ．

(2)　$3$点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3$は$1$直線上にあることを示せ．

(3)　三角形$\mathrm{ABC}$が$1$辺の長さが$1$の正三角形であるとき，線分${\mathrm{A}}_1{\mathrm{A}}_3$の長さを求めよ．

【４】　箱の中に，$1$から$4$までの数字がそれぞれ$1$つずつ書かれている$4$枚のカードが入っている．この箱の中からカードを$1$枚ずつとり出して順番に並べ，$4$項からなる数列$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{，}{X}_4$をつくる．ただし，$k$番目（$k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}4$）にとり出されたカードに書かれている数字が$X_k$である．このようにしてつくられた数列$X_1\text{，}{X}_2\text{，}{X}_3\text{，}{X}_4$に対し，得点$S$を次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)により定められるものとする．

(ⅰ)　$X_1>X_2$のとき$S=X_1$

(ⅱ)　$X_1<X_2\text{，}{X}_2>X_3$のとき$S=X_1+X_2$

(ⅲ)　$X_1<X_2<X_3\text{，}{X}_3>X_4$のとき$S=X_1+X_2+X_3$

(ⅳ)　$X_1<X_2<X_3<X_4$のとき$S=X_1+X_2+X_3+X_4$

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$S\geqq 8$である確率を求めよ．

(2)　$S$の期待値を求めよ．

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& x\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$に対して，$BA=A\left(\begin{array}{cc}y& 0\\ 0& z\end{array}\right)$が成り立っているものとする．ただし，$x\ne 1\text{，}b\ne 0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x$の値を求めよ．さらに，$y\text{，}z$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

(2)　数列$\{p_n\}\text{，}\{q_n\}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次によって定める．

$\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ q_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)\text{，}\left(\begin{array}{c}{p}_{n+1}\\ q_{n+1}\end{array}\right)=B\left(\begin{array}{c}{p}_n\\ q_n\end{array}\right)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

$p_n\text{，}{q}_n$を$a\text{，}b\text{，}n$を用いて表せ．

【３】　座標平面上で，直線$l$は点$\mathrm{A}(1,0)$において円$x^2+y^2=1$に接している．このとき$l$上に固定された点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$の位置にあるものとする．直線$l$がこの円周上をすべることなく接しながら左回りに$1$回転するときの点$\mathrm{P}$のえがく曲線を$C$とし，点$\mathrm{P}$の最終の位置を点$\mathrm{B}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　接点の座標が$(\cos t,\sin t)\text{（}0\leqq t\leqq 2\pi \text{）}$であるときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　曲線$C$の長さを求めよ．

(3)　$x$軸または$y$軸に平行な直線で$C$（$2$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$は除く）に接するものをすべて求めよ．

【４】　$1$つのサイコロを$3$回投げる．$k$回目（$k=1\text{，}2\text{，}3$）に出た目の数が$X_k$であるとき，得点$S$を次の(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)により定めるものとする．

(ⅰ)　$1\leqq X_1\leqq 3$のとき，$S=X_1$

(ⅱ)　$4\leqq X_1\leqq 6\text{，}1\leqq X_2\leqq 3$のとき，$S=X_1+X_2$

(ⅲ)　$4\leqq X_1\leqq 6\text{，}4\leqq X_2\leqq 6$のとき，$S=X_1+X_2+X_3$

　このとき，$S$の期待値を求めよ．

【５】　三角形$\mathrm{ABC}$は辺$\mathrm{AB}\text{，}\mathrm{BC}\text{，}\mathrm{CA}$の長さがそれぞれ$3\text{，}5\text{，}4$である直角三角形とする．辺$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AB}$をそれぞれ$3:5$と$4:5$の比に内分する点を$\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}$とし，線分$\mathrm{BD}$と線分$\mathrm{CE}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$として，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{BD}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{CE}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\overrightarrow{\mathrm{AF}}={\displaystyle \frac{1}{3}}\overrightarrow{a}+{\displaystyle \frac{1}{4}}\overrightarrow{b}$であることを示せ．

(3)　線分$\mathrm{CF}$上に点$\mathrm{G}$を$\mathrm{FE}=\mathrm{FG}$となるようにとるとき，$\overrightarrow{\mathrm{DG}}$と$\overrightarrow{\mathrm{BC}}$は垂直であることを示せ．

【６】　関数$f(x)$はすべての実数$x$に対して連続な導関数$f^{\prime }(x)$をもち，次の条件(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)を満たしているものとする．

(ⅰ)　$f(-1)=f(1)=0$，(ⅱ)　${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f(x)\}}^{2}dx=1$，

(ⅲ)　区間$-1<x<1$のすべての$x$に対して，$f(x)>0$．

　このとき，次の問いに答えよ．

(1)　任意の実数$t$に対して，等式

${\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{t{f}^{\prime }(x)+xf(x)\}}^{2}dx=t^2{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^{2}dx-t+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^2{\{f(x)\}}^{2}dx$

が成り立つことを示せ．

(2)　不等式

$\{{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{\{f^{\prime }(x)\}}^{2}dx\}\{{\displaystyle {\int }_{-1}^1}{x}^2{\{f(x)\}}^{2}dx\}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$

を示せ．