1994　名古屋大学　前期MathJax

1994-10481-0101

1994　名古屋大学　前期

文科系・理科系共通

易□　並□　難□

【１】　三角形 $ABC$ において，辺 $AB ， BC ， CA$ をそれぞれ $m : n$ に分割する点を順に $D ， E ， F$ とする．どんな自然数の組 $(m, n)$ を取っても， $AE ⊥ DF$ となるならば， $▵ ABC$ はどんな三角形か？

1994-10481-0102

1994　名古屋大学　前期

文科系

易□　並□　難□

【２】　 $x y$ 平面上で点 $P$ が直線 $x + y + 1 = 0$ 上を動くとき， $P$ から放物線 $y = x^{2}$ に引いた $2$ 接線とこの放物線とで囲まれる面積 $S$ を $P$ の $x$ 座標を用いて表せ．また $S$ が最小になるような $P$ の $x$ 座標を求めよ．

1994-10481-0103

1994　名古屋大学　前期

文科系

易□　並□　難□

【３】　箱の中に赤球が $3$ 個，白球が $2$ 個入っている．箱から球を $1$ 個ずつ取り出してその色を見ることを繰り返し，先に赤球が $3$ 回出れば赤の勝ち，白球が $2$ 回出れば白の勝ちとする．次のそれぞれの場合に赤が勝つ確率を求めよ．

(1)　取り出した球は箱に戻さずに続ける．

(2)　取り出した球はつねに箱に戻す．

(3)　取り出した球が赤なら戻し，白なら戻さない．

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1994　名古屋大学　前期

理科系

易□　並□　難□

【２】　自然数 $n$ に対して，方程式

${(1 + x)}^{n} = 1 + 2^{n} x$

の実数解の個数を求めよ．

1994-10481-0105

1994　名古屋大学　前期

理科系

易□　並□　難□

【３】　 $x y z$ 空間内で， $0 < a < 1$ である実数 $a$ に対し， $A (0, 0, 0) ， B (1 - a, 0, 0) ， C (0, 1, a)$ を頂点とする三角形を考える．この三角形を $z$ 軸のまわりに $1$ 回転してできる立体の体積を最大にする $a$ を求めよ．またそのときの体積を求めよ．

1994-10481-0106

1994　名古屋大学　前期

理科系

【４】(b)との選択

易□　並□　難□

【４】(a)　箱の中に赤球が $5$ 個，白球が $10$ 個入っている．箱の中から球を取り出したとき，それが赤のときはその球を含めて $p$ 個の球を箱に入れ，白のときはその球を含めて $q$ 個の白球を箱に入れて，次の球を取り出すことにする．

(1)　 $1$ 回目に赤球が出る確率と， $2$ 回目に赤球が出る確率が等しくなるための条件を求めよ．ただし $p ≧ 1 ， q ≧ 1$ とする．

(2)　 $p = q = 1$ とする． $A ， B 2$ 人が $A$ から始めて上の要領で球を順々に取り出すとき，初めて赤球を取り出した方を勝ちとする． $A$ が勝つ確率を求めよ．

1994-10481-0107

1994　名古屋大学　前期

理科系

【４】(a)との選択

易□　並□　難□

【４】(b)　長方形に置かれた三角形の面積は，もとの長方形の面積の $\frac{1}{2}$ を越えないことを示せ．

1994 名古屋大学 前期MathJax

1994　名古屋大学　前期MathJax