1994　京都大学　前期MathJax

【１】　$A\text{，}B\text{，}C\text{，}E$は$2$行$2$列の行列で，$A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 0\end{array}\right)\text{，}E=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とする．

(1)　$AB=BA$ならば$B=pA+qE$となる実数$p\text{，}q$が存在することを示せ．

(2)　$AB=BA\text{，}AC=CA$が成り立つならば，$BC=CB$が成り立つことを示せ．

(3)　$AB=BA\text{，}{B}^2=E$を満たす行列$B$をすべて求めよ．

【２】　$n$は$0$または正の整数とする．$a_n$を$a_0=1\text{，}{a}_1=2\text{，}{a}_{n+2}=a_{n+1}+a_n$によって定める．$a_n$を$3$で割った余りを$b_n$とし，$c_n=b_0+\cdots +b_n$とおく．

(1)　$b_0\text{，}\cdots \text{，}{b}_9$を求めよ．

(2)　$c_{n+8}=c_n+c_7$であることを示せ．

(3)　$n+1\leqq c_n\leqq {\displaystyle \frac{3}{2}}(n+1)$が成り立つことを示せ．

【３】　$xyz$空間で，$(0,0,1)$を中心とする半径$1$の球面を$S_1\text{，}(0,1,0)$を中心とする半径$1$の球面を$S_2$とする．$2$つの球面$S_1\text{，}{S}_2$の共通部分の上にある点$\mathrm{P}(a,b,c)$を考え，点$\mathrm{P}$を中心とする半径${\displaystyle \frac{1}{2}}$の球面を$S_0$とする．$S_0$が平面$x-z=0$と交わってできる円の半径が${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{4}}$であるとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【４】　さいころを$n$回続けて投げるとき，$k$回目に出る目の数を$X_k$とし，$Y_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$とする．$Y_n$が$7$で割り切れる確率を$p_n$とする．

(1)　$p_n$を$p_{n-1}$を用いて表せ．

(2)　$p_n$を求めよ．

【５】　$xy$平面上の$2$曲線$C_1\text{：}y=x^2-{\displaystyle \frac{5}{4}}\text{，}{C}_2\text{：}x=y^2-a$について，$C_1$と$C_2$が相異なる$4$つの交点を持つような実数$a$の範囲を求めよ．

【３】　正四面体の$4$つの頂点を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とする．$s\text{，}t$を$0<s<1\text{，}0<t<1$を満たす実数とし，

線分$\mathrm{AB}$を$s:1-s$に内分する点を$\mathrm{E}\text{，}$

線分$\mathrm{AC}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{F}\text{，}$

線分$\mathrm{AD}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{G}$

とおく．$3$点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}$を通る平面が，$3$点$\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を通る円と共有点を持つために$s\text{，}t$の満たすべき条件を求め，点$(s,t)$の範囲を平面上に図示せよ．

【４】　$xy$平面上で，$3$点$\mathrm{A}(-1,0)\text{，}\mathrm{B}(1,0)\text{，}\mathrm{P}(t,2t^2+1)$を考え，$\angle \mathrm{APB}$の二等分線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}$とする．$t$がすべての実数値を動くとき，${\displaystyle \frac{\mathrm{QB}}{\mathrm{AQ}}}$の最大値，最小値を求めよ．

【５】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が色のついた札を$1$枚ずつ持っている．はじめに，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の持っている札の色はそれぞれ赤，白，青である．

　$\mathrm{A}$がさいころを投げて，$3$の倍数の目が出たら$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$と持っている札を交換し，その他の目が出たら$\mathrm{A}$は$\mathrm{C}$と札を交換する．

　この試行を$n$回繰り返した後に，赤い札を$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が持っている確率を，それぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$とする．

(1)　$n\geqq 2$のとき，$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n$を$a_{n-1}\text{，}{b}_{n-1}\text{，}{c}_{n-1}$で表せ．

(2)　$a_n$を求めよ．

【６】　$\theta$が$0$から$2\pi$まで変化するとき，点$\mathrm{P}(\theta )=(2\cos \theta -\cos 2\theta ,2\sin \theta -\sin 2\theta )$の描く曲線を考える．

(1)　この曲線の全長$L$を求めよ．

(2)　この曲線の$0\leqq \theta \leqq {\theta }_n$の部分の長さが${\displaystyle \frac{L}{n}}$となるように${\theta }_n$を定めるとき，極限値$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{\theta }_n$を求めよ．