1994　京都大学　後期MathJax

【１】　$a+b+c=0$を満たす実数$a\text{，}b\text{，}c$について，

${(|a|+|b|+|c|)}^2\geqq 2(a^2+b^2+c^2)$

が成り立つことを示せ．

　また，ここで等号が成り立つのはどんな場合か．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を整数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考え，自然数$n$に対して$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とする．このとき，

(1)　$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0$を示せ．

(2)　$p$を素数とし，$ad-bc$は$p$で割り切れないものとする．

　ある自然数$k$について，$c_k$と$c_{k+1}$が$p$で割り切れるならば，すべての$n$について$c_n$は$p$で割り切れることを示せ．

【３】　$xy$平面上で，円$C:x^2+y^2=1$の外部にある点$\mathrm{P}(a,b)$を考える．

　点$\mathrm{P}$から円$C$に引いた$2$つの接線の接点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}{\mathrm{Q}}_2$とし，線分${\mathrm{Q}}_1{\mathrm{Q}}_2$の中点を$\mathrm{Q}$とする．

　点$\mathrm{P}$が円$C$の外部で，$x(x-y+1)<0$を満たす範囲にあるとき，点$\mathrm{Q}$の存在する範囲を図示せよ．

【４】　$3$人の選手$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$が次の方法で優勝を争う．

　まず$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が対戦する．そのあとは，一つの対戦が終わると，その勝者と休んでいた選手が勝負をする．このようにして対戦をくり返し，先に$2$勝した選手を優勝者とする．（$2$連勝でなくてもよい．）

　各回の勝負で引き分けはなく，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$は互角の力量であるが，$\mathrm{C}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$に勝つ確率はともに$p$である．

(1)　$2$回の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ．

(2)　ちょうど$4$回目の対戦で優勝者が決まる確率を求めよ．

(3)　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の優勝する確率が等しくなるような$p$の値を求めよ．

【５】　$2$次式$f(x)=3x^2+2ax+1$に対し

${\displaystyle {\int }_{-2}^2}(x+2)f(x)dx=4{\displaystyle {\int }_c^2}f(x)dx$

を満たす$c$が$-2<c<2$の範囲に存在することを示せ．

【２】　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$を整数とし，行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$を考える．

$\left(\begin{array}{cc}{a}_0& b_0\\ c_0& d_0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$とし，自然数$n$に対して$A^n=\left(\begin{array}{cc}{a}_n& b_n\\ c_n& d_n\end{array}\right)$とする．このとき，

(1)　$n\geqq 0$について，$c_{n+2}-(a+d)c_{n+1}+(ad-bc)c_n=0$を示せ．

(2)　$p$を素数とし，$a+d$は$p$で割り切れないものとする．

　ある自然数$k$について，$c_k$と$c_{k+1}$が$p$で割り切れるならば，すべての$n$について$c_n$は$p$で割り切れることを示せ．

【３】　$xy$平面上で，$(1,1)$を中心とする半径$1$の円を$C$とする．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$はそれぞれ$x$軸，$y$軸の正の部分にある点で，線分$\mathrm{PQ}$が円$C$に接しているとする．

　正三角形$\mathrm{PQR}$を第$1$象限に描くとき，頂点$\mathrm{R}$の座標$(a,b)$について，$a\text{，}b$の間に成り立つ関係式を求めよ．

【５】　実数$r$は$2\pi r>1$を満たすとする．半径$r$の円の周上に$2$点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を，弧$\mathrm{PQ}$の長さが$1$になるようにとる．点$\mathrm{R}$が弧$\mathrm{PQ}$上を$\mathrm{P}$から$\mathrm{Q}$まで動くとき，弦$\mathrm{PR}$が動いて通過する部分の面積を$S(r)$とする．

　$r$が変化するとき，面積$S(r)$の最大値を求めよ．

【６】　$n$を自然数とし，$I_n={\displaystyle {\int }_1^e}{(\log x)}^{n}dx$とおく．

(1)　$I_{n+1}$を$I_n$を用いて表せ．

(2)　すべての$n$に対して

${\displaystyle \frac{e-1}{n+1}}\leqq I_n\leqq {\displaystyle \frac{(n+1)e+1}{(n+1)(n+2)}}$

が成り立つことを示せ．