1994　大阪大学　後期MathJax

【１】　$p$を与えられた自然数とし，数列$\{a_n\}$を以下のように定める．

(イ)　$a_1={\displaystyle \frac{1}{p(p+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}$

(ロ)　$a_n$が有理数のとき，$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{a}_n$

(ハ)　$a_n$が無理数のとき，$a_{n+1}=\sqrt{2}{a}_n+{\displaystyle \frac{16}{n(n+2)(n+4)}}$

　次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは証明なしで用いてよい．

(1)　$b_m=a_{2m-1}$とするとき，$m=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}p$に対し

$b_m={\displaystyle \frac{1}{p(p+1)}}-{\displaystyle \frac{1}{m(m+1)}}$

であることを示せ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$K:x^2+2bxy+2y^2=\sqrt{2}-b$を，原点を中心として反時計回りに$\theta$だけ回転して得られる曲線の方程式を

$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2=\sqrt{2}-b$

とする．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$B=0$となるとき，$\tan 2\theta$の値を,$b$を用いて表せ．

(2)　$K$が，だ円となるような$b$の値の範囲を求めよ．

(3)　(2)で求めた$b$の範囲で，$K$の焦点と原点との距離が最小となるような$b$の値を求めよ．

【３】　$f(x)\text{，}g(x)$は$x\geqq 0$で定義された正の値をとる連続な関数で，$x>0$で微分可能であるとする．それらの定める曲線を

$C_1:y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

$C_2:y=g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

とするとき，以下の性質が満たされるという．ただし，$p$は与えられた自然数とする．

(イ)　$f(x)$は$x\geqq 0$において増加な関数で，$f(0)=1$を満たす．

(ロ)　$f(x){g(x)}^p=p^p\text{（}x\geqq 0\text{）}$

(ハ)　すべての$x>0$に対して，平面上の点$(x,f(x))$における曲線$C_1$の接線と，点$(x,g(x))$における曲線$C_2$の接線は直交する．

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$をもとめよ．

(2)　$p=3$のとき，曲線$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$は，以下の条件を満たすものとする．

(イ)　$a_1=1$

(ロ)　$a_n$が有理数のとき，$a_{n+1}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}{a}_n$

(ハ)　$a_n$が無理数のとき，$a_{n+1}=\sqrt{2}{a}_n-{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)}^n$

　次の問いに答えよ．ただし，$\sqrt{2}$が無理数であることは証明なしに用いてよい．

(1)　$b_m=a_{2m-1}\text{（}m=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$とするとき，$b_m$を求めよ．

(2)　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{a}_n$を求めよ．

【２】　$xy$平面上の曲線$K:x^2+2bxy+2y^2=1$を，原点を中心として反時計回りに$\theta$だけ回転して得られる曲線の方程式を

$A{x}^2+2Bxy+C{y}^2=1$

とする．ただし，$-{\displaystyle \frac{\pi }{4}}\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}}$とする．

　次の問いに答えよ．

(1)　$B=0$となるとき，$\tan 2\theta$の値を$b$を用いて表せ．

(2)　$K$が，だ円となるような$b$の値の範囲を求めよ．

【３】　$a$を正数，$b$を実数とし

$f(x)=\log x(1-x)-ax(1-x)+b\text{（}0<x<1\text{）}$

とおく．

(1)　$f(x)$の区間$0<x<1$における最大値を求めよ．

(2)　$f(x)=0$が区間$0<x<1$において相異なる$4$個の解をもつために，$a\text{，}b$が満たすべき条件を求めよ．また，この条件を満たす点$(a,b)$の集合を$ab$平面上に図示せよ．

【４】　$f(x)\text{，}g(x)$は$x\geqq 0$で定義された正の値をとる連続な関数で，$x>0$で微分可能であるとする．それらの定める曲線を

$C_1:y=f(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

$C_2:y=g(x)\text{（}x\geqq 0\text{）}$

とするとき，以下の性質が満たされるという．

(イ)　$f(x)$は$x\geqq 0$において増加な関数で，$f(0)=1$を満たす．

(ロ)　$f(x){g(x)}^3=27\text{（}x\geqq 0\text{）}$

(ハ)　すべての$x>0$に対して，平面上の点$(x,f(x))$における曲線$C_1$の接線と，点$(x,g(x))$における曲線の接線は直交する．

　次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　曲線$C_1\text{，}{C}_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．