1994　神戸大学　後期MathJax

【１】　曲線$y=x^2$上の点$\mathrm{P}(a,a^2)$における接線を$l$とする．さらに，$l$上にあり，$x$座標が$a$より大きく$\mathrm{P}$との距離が$1$である点を$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$b$とする．このとき，次の各問に答えなさい．

(1)　直線$l$の方程式を求めなさい．

(2)　$b$を$a$を用いて表しなさい．

(3)　曲線$y=x^2\text{，}$直線$l$および直線$x=b$で囲まれる部分の面積を，$a$を用いて表しなさい．

【２】　数列$\{a_k\}\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$が次の〔ア〕，〔イ〕をみたしている．

〔ア〕　$a_1=8$

〔イ〕　$9^{a_{k+1}}=27\times 3^{a_k}$

　このとき，次の各問に答えなさい．

(1)　一般項$a_k$を$k$を用いて表しなさい．

(2)　数列$\{a_k\}$の初項から第$n$項までの和を求めなさい．

【３】　$2$平面

$\alpha :x-y+z=3$

$\beta :-x+3y+z=5$

について，次の各問に答えなさい．

(1)　平面$\alpha \text{，}\beta$の交線を${\displaystyle \frac{x-x_1}{l}}={\displaystyle \frac{y-y_1}{m}}={\displaystyle \frac{z-z_1}{n}}$の形の方程式で表しなさい．

(2)　平面$\alpha \text{，}\beta$の交線上にあり，点$\mathrm{P}(0,1,2)$からの距離が$\sqrt{2}$に等しい点の座標を求めなさい．

【１】　一辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{OA}\text{，}\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{OB}\text{，}\mathrm{BC}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}\text{，}\mathrm{S}$を$\mathrm{AP}=\mathrm{BR}=t\text{，}\mathrm{AQ}=\mathrm{BS}=u$となるようにとる．ただし$0<t<1\text{，}0<u<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えなさい．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{RS}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{PR}}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{QS}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$および$t\text{，}u$を用いて表しなさい．

(2)　$\mathrm{PQ}=\mathrm{RS}$であることを示しなさい．

(3)　$\angle \mathrm{PQS}=\angle \mathrm{RSQ}$であることを示しなさい．

【２】　曲線$C:y=x^3-3x+4$と，$C$上にない点$\mathrm{P}(a,b)$について，次の各問に答えなさい．

(1)　点$\mathrm{P}$から曲線$C$へ相異なる$3$本の接線がひけるための$a\text{，}b$に関する条件を導き，そのような$\mathrm{P}$の存在範囲を図示しなさい．

(2)　(1)において各接点の$x$座標が等差数列をなすとき，$a\text{，}b$のみたす式を求めなさい．

【３】　$\mathrm{A}$の袋には赤玉が$a$個，白玉が$b$個（$a\text{，}b\geqq 2$）入っており，$\mathrm{B}$の袋には赤玉が$c$個，白玉が$d$個（$c\text{，}d\geqq 2$）入っている．次の各問に答えなさい．

(1)　$\mathrm{A}$の袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき，両方が赤玉である確率$p_1\text{，}$および赤玉と白玉が$1$個ずつである確率$p_2$を求めなさい．

(2)　$\mathrm{A}$の袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき両方が赤玉である確率と，$\mathrm{B}$の袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき両方が赤玉である確率とが一致し，かつ，$\mathrm{A}$の袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき赤玉と白玉が$1$個ずつである確率と，$\mathrm{B}$の袋から同時に$2$個の玉を取り出すとき赤玉と白玉が$1$個ずつである確率とが一致しているならば，$\mathrm{A}$の袋から$1$個の玉を取り出すとき赤玉である確率と，$\mathrm{B}$の袋から$1$個の玉を取り出すとき赤玉である確率とが一致していることを証明しなさい．

【４】　次の各問に答えなさい．

(1)　$k$は定数で$k>1$とするとき，微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dt}}=ky-y^2$

の解のうち次の$2$条件を同時にみたすものを求めなさい．

〔ア〕　$t=0$のとき$y=1$である．

〔イ〕　常に$0<y<k$である．

(2)　(1)で求めた特殊解を$f(t)$とするとき，$\underset{x\to -\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_x^0}f(t)dt$を求めなさい．

(3)　(2)で求めた極限の値が$1$に等しくなるとき，$k$の値を求めなさい．