1994　広島大学　前期MathJax

【１】　平面$\alpha :2x-y+3z=2$と直線$l:x-2={\displaystyle \frac{y-3}{-2}}={\displaystyle \frac{z+3}{2}}$を考える．$\alpha$と$l$の交点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,y_0,z_0)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$の座標$(x_0,y_0,z_0)$を求めよ．

(2)　$\mathrm{P}$を通る直線

${\displaystyle \frac{x-x_0}{4}}={\displaystyle \frac{y-y_0}{a}}={\displaystyle \frac{z-z_0}{b}}$

が$\alpha$上にあり，かつ$l$と直交するように$a\text{，}b$を定めよ．

【２】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$によって，点$(-1,-5)$が点$(-3,-1)$に，点$(1,-3)$が点$(-5,9)$にうつされる．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の値を求めよ．

(2)　点$(3,-2)$を通る直線のうちで，$1$次変換$f$によって自分自身にうつるものを求めよ．

【３】　平面上に，$1$辺の長さが$1$である正三角形$\mathrm{ABC}$と大きさ$1$のベクトル$\overrightarrow{d}$がある．ベクトル$\overrightarrow{v_1}\text{，}\overrightarrow{v_2}\text{，}\overrightarrow{v_3}$を

$\overrightarrow{v_1}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{d}\text{，}\overrightarrow{v_3}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}-\overrightarrow{d}$

で定めるとき，次の問いに答えよ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{v_1}$の大きさ$\left|\overrightarrow{v_1}\right|$が${\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}}$のとき，$\overrightarrow{d}$と$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$のなす角$\theta \text{（}0\leqq \theta \leqq \pi \text{）}$の値を求めよ．

(2)　$S={|\overrightarrow{v_1}|}^2+{|\overrightarrow{v_2}|}^2+{|\overrightarrow{v_3}|}^2$は$\overrightarrow{d}$の向きに関係なく一定であることを示し，その値を求めよ．

【４】　次の問いに答えよ．

(1)　$a$を正の定数とするとき，関数$f(x)=x^3-a{x}^2$の極値を求めよ．

(2)　数列$\{a_n\}$を次のように定める．$a_1=1$とし，$a_{n+1}$は関数$f_n(x)=x^3-a_n{x}^2$の極小値を与える$x$の値とする（$n=1\text{，}2\text{，}\cdots$）．

　このとき，一般項$a_n$を求めよ．

(3)　(2)で定めた関数$f_n(x)$に対して，曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$A_n$とするとき，

$A_1+A_2+\cdots +A_n$

を$n$の式で表せ．

【５】　曲線$y=x(x-1)$と曲線$y^2=kx$は点$(a,a(a-1))$において共通の接線をもつとする．ただし，$a>0\text{，}k>0$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}k$の値を求めよ．

(2)　連立不等式

$\{\begin{array}{l}y\leqq x(x-1)\\ y^2\leqq kx\end{array}$

で定まる領域を$x$軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ．

【１】　空間内に$3$直線

$l_1:x=0\text{，}y=1\text{，}{l}_2:y=0\text{，}z=1\text{，}{l}_3:z=0\text{，}x=1$

およびこの$3$直線上にない点$\mathrm{P}(a,b,c)$がある．$\mathrm{P}$から$l_k\text{（}k=1\text{，}2\text{，}3\text{）}$におろした垂線と$l_k$との交点を${\mathrm{H}}_k$とする．

(1)　線分$\mathrm{P}{\mathrm{H}}_1$の長さを$a\text{，}b\text{，}c$の式で表せ．

(2)　$\mathrm{P}$が平面$x+z=1$上にあり，しかも線分$\mathrm{P}{\mathrm{H}}_1\text{，}\mathrm{P}{\mathrm{H}}_2\text{，}\mathrm{P}{\mathrm{H}}_3$の長さがすべて等しいとき，$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

【２】　原点を内部に含む$▵\mathrm{ABC}$の頂点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の位置ベクトルを$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}\text{，}\overrightarrow{c}$とし，

$f(\overrightarrow{a})=\overrightarrow{b}\text{，}f(\overrightarrow{b})=\overrightarrow{c}\text{，}f(\overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}$

を満たす$1$次変換$f$が存在するとする．次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{c}=p\overrightarrow{a}+q\overrightarrow{b}$と表すとき，定数$p\text{，}q$を求めよ．

(2)　$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$の大きさがともに$1$であるとする．$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角を$\theta$とするとき，$▵\mathrm{ABC}$の面積を最大にする$\theta$の値とそのときの最大値を求めよ．

【３】　$a_1=1\text{，}{a}_n>0\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を満たす数列$\{a_n\}$に対して

$S_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{a}_k\text{，}{T}_n={\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}\text{，}{U}_n=S_n{T}_n$

とおく．

(1)　$b_n={\displaystyle \frac{S_n}{a_{n+1}}}$とおくとき，

${b_n}^2-(U_{n+1}-U_n-1)b_n+U_n=0$

が成り立つことを示せ．

(2)　$U_n=n^2\text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$のとき，$b_n$および$a_n$を求めよ．

【４】　座標平面上で，$\mathrm{P}$は点$(0,1)$を中心とする半径$1$の円周上の点で，原点$\mathrm{O}$とは異なるとする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$の大きさを$r\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$x$軸の正の向きのなす角を$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$とする．この$\mathrm{P}$に対して，右の図のように点$\mathrm{Q}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$の大きさが$r^2\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$と$x$軸の正の向きのなす角が$2\theta$となるように定める．

(1)　$r$を$\theta$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$の座標を$\theta$を用いて表せ．

(3)　内積$\overrightarrow{\mathrm{OP}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を最大にする$\theta$の値とそのときの最大値を求めよ．

【５】　関数$f(x)=x\log x\text{（}x>0\text{）}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を求めよ．

(2)　$a$を正の定数とするとき，すべての$x>0$に対して

$f(x)\geqq f^{\prime }(a)(x-a)+f(a)$

が成り立つことを示せ．

(3)　$t>0$に対して，${\displaystyle \frac{1}{2t}}{\displaystyle {\int }_t^{3t}}f(x)dx\geqq f(2t)$が成り立つことを示せ．

【６】　右の図のような円周上の$4$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$の上を次の規則で反時計回りに動く点$\mathrm{Q}$を考える．さいころを振って偶数の目が出れば出た目の数だけ順次隣の点に移動させ，奇数の目が出れば移動させない．また，$\mathrm{Q}$は最初$\mathrm{A}$上にあるものとする．さいころを$n$回振った後で$\mathrm{Q}$が$\mathrm{C}$上にある確率を$a_n$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2$を求めよ．

(2)　$a_{n+1}$と$a_n$との間に成り立つ関係式を求めよ．

(3)　$a_n$を$n$の式で表せ．