1994　大阪市立大学　A・前期MathJax

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -b& -a\end{array}\right)$で表される$1$次変換$f$によって，直線$y=mx$はそれ自身に移されるとする．ただし$0<b<a$とする．次の問に答えよ．

問１　$a\text{，}b$を用いて$m$を表せ．

問２　$a\text{，}b\text{，}m$がすべて整数で条件$0<b<a<6$を満たすとき，$a\text{，}b\text{，}m$の組をすべて求めよ．

【２】　$xy$平面において，傾き$-1$の直線$l$上の$2$点$(x_1,y_1)\text{，}(x_2,y_2)$が$x_1<x_2<y_1$を満たすとき，次の不等式が成り立つことを示せ．

問１　$x_1<y_2<y_1$

問２　$x_1{y}_1<x_2{y}_2$

【３】　空間内の$5$つの平面$x=0\text{，}y=0\text{，}z=0\text{，}z=1-x\text{，}z=1-y$で囲まれた四角すいを考える．平面$z=t$（ただし$0\leqq t\leqq 1$）でこの立体を切ったときの切り口の面積を$S(t)$とする．次の問に答えよ．

問１　$S(t)$を$t$で表せ．

問２　$t$の関数$S(t)$を$0$から$1$まで積分せよ．

【４】　放物線$C:y=x^2$と曲線$C^{\prime }$は点$(a,b)$に関して対称であるとする．次の問に答えよ．

問１　$C^{\prime }$の方程式を求めよ．

問２　$C$と$C^{\prime }$が異なる$2$点で交わるような$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【１】　$1$から$999$までの整数のうちで，次の整数はいくつあるか．

問１　各位の数の和が$7$となる整数

問２　各位の数の和が$7$の倍数となる整数

【２】　$a\text{，}b$を実数とし，自然数$n$に対して$a_n\text{，}{b}_n$を

$\left(\begin{array}{c}{a}_n\\ b_n\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{7}{2}}& -3\\ {\displaystyle \frac{3}{2}}& -1\end{array}\right)}^n\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)$

で定める．次の問に答えよ．

問１　$a_n-2b_n$を$a\text{，}b$を用いて表せ．

問２　数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$がともに収束するような$a\text{，}b$の条件を求めよ．

【３】　$a$を正の定数とし，$xy$平面上に点$\mathrm{P}(a,{\displaystyle \frac{2}{a}})$をとる．$\mathrm{P}$を通り，曲線$y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{）}$と$2$点で交わる直線のうちで，交点間の距離が最小となる直線の傾きとそのときの交点間の距離を求めよ．

【４】　$xyz$空間において，$yz$平面上の放物線$z=y^2$を$z$軸のまわりに回転してできる曲面と平面$z=y$で囲まれた立体を$D$とする．次の問に答えよ．

問１　平面$y=t$（ただし，$0\leqq t\leqq 1$）で$D$を切ったときの切り口の面積を$S(t)$とするとき，

$S(t)={\displaystyle \frac{4}{3}}{(1-t)}^{\frac{3}{2}}{t}^{\frac{3}{2}}$

となることを示せ．

問２　$t={\sin }^2\theta$とおけば，

${\displaystyle {\int }_0^1}S(t)dt={\displaystyle \frac{1}{6}}{\sin }^4(2\theta )d\theta$

となることを示せ．

問３　立体$D$の体積を求めよ．