1994　大阪府立大学　A・前期MathJax

【１】　点$\mathrm{A}$の座標を$\mathrm{A}(1,4,5)$とし，直線$g$の方程式を

${\displaystyle \frac{x-2}{2}}={\displaystyle \frac{y-4}{3}}={\displaystyle \frac{z-5}{2}}$

とする．次の問に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$と直線$g$の距離を求めよ．

(2)　直線$g$に関して点$\mathrm{A}$と対称な点の座標を求めよ．

(3)　点$\mathrm{A}$と直線$g$を含む平面の方程式を求めよ．

(4)　点$\mathrm{A}$に関して直線$g$と対称な直線の方程式を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& -4\\ 1& -1\end{array}\right)$について次の問に答えよ．

(1)　${(A-E)}^2$を計算せよ．ただし，$E$は単位行列とする．

(2)　$A^2$の表す一次変換による点${\mathrm{P}}_0$の像を${\mathrm{P}}_n$とするとき，点${\mathrm{P}}_0$の取り方に関係なく$\overrightarrow{{\mathrm{P}}_n{\mathrm{P}}_{n+1}}=\overrightarrow{{\mathrm{P}}_{n+1}{\mathrm{P}}_{n+2}}$が成り立つことを示せ．

【３】　関数

$f(t)={\displaystyle {\int }_0^1}(e^{tx}-2tx)dx$

の定義域を$t\geqq 0$とする．このとき$f(t)$の最小値を求めよ．

【３】　$4$次関数$f(x)=x^4-6x^3+9x^2-kx$について次の問に答えよ．

(1)　方程式$f(x)=0$が$4$個の異なる実数解を持つための$k$の条件を求めよ．

(2)　$k=4$のとき，$y=f(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　$\theta$の関数$r(\theta )$は常に正の値をとるものとする．媒介変数表示

$\{\begin{array}{l}x=r(\theta )\cos \theta \\ y=r(\theta )\sin \theta \end{array}$

で定まる$xy-$平面上の曲線が下の性質をもつとき，関数$r(\theta )$を求めよ．

　原点を$\mathrm{O}$とする．曲線上の任意の点$\mathrm{P}$における接線と直線$\mathrm{OP}$のなす角$\alpha$は常に一定である．ただし$0<\alpha \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$とする．

【４】　ある人が年度始めに年利$r$で$A$万円借りた．$1$年後から毎年度始めに$1$回ずつ返済を行い，返済方法は初回$x$万円を返済し，毎年$1$万円ずつ返済額を増額するものとする．$n$年後の返済直後の借金残高を$a_n$万円とする．$a_n$が正である範囲の$n$に対して$a_n=PA+Qx+R$とおく．このとき$P\text{，}Q\text{，}R$を$n$と$r$のみで表せ．