1994　慶応義塾大学　経済学部MathJax

【１】　$x$の整式$f(x)$を${(x-1)}^2$および${(x+1)}^2$で割ったときの余りが，それぞれ$2x-1\text{，}3x-4$であるとき，$f(x)$を$x+1$で割ったときの余りは$\boxed{\text{ア}}$であり，$f(x)$を${(x-1)}^2(x+1)$で割ったときの余りは$\boxed{\text{イ}}{x}^2+\boxed{\text{ウ}}x+\boxed{\text{エ}}$である．

【２】　$xy$平面上の$4$点

$\mathrm{A}(-2,-2)\text{，}\mathrm{B}(-2,-8)\text{，}\mathrm{C}(2,-8)\text{，}\mathrm{D}(2,-2)$

を頂点とする長方形$\mathrm{ABCD}$がある．長方形$\mathrm{ABCD}$の面積を$2$等分する直線は定点$\mathrm{E}(\boxed{\text{オ}},\boxed{\text{カ}})$を通る．次に，$3$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{F}(5,0)\text{，}\mathrm{G}(3,4)$をとり，直線$\mathrm{EG}$と$x$軸との交点を$\mathrm{H}$とするとき，三角形$\mathrm{OHG}$の面積は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$である．長方形$\mathrm{ABCD}$の面積と三角形$\mathrm{OFG}$の面積を同時に$2$等分する直線の方程式は

$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}x+\boxed{\text{サ}}$

である．

【３】　$t$を$-1\text{，}0\text{，}1$のいずれでもない実数とし，方程式

${\displaystyle \frac{x-1}{t-1}}={\displaystyle \frac{y-1}{t}}={\displaystyle \frac{z-1}{t+1}}$

で表される直線を$l_t$とする．すべての$l_t$を含む平面の方程式は

$x+\boxed{\text{シ}}y+\boxed{\text{ス}}z+\boxed{\text{セ}}=0$

である．直線$l_t$のうち，直線

${\displaystyle \frac{x+1}{3}}={\displaystyle \frac{y+1}{2}}={\displaystyle \frac{z-2}{2}}$

と交わるのは，$t$の値が${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}$のときである．また，そのときの交点の座標は$(\boxed{\text{チ}},\boxed{\text{ツ}},\boxed{\text{テ}})$である．

【４】　$\theta$を$90\mathrm{°}$の整数倍ではない角度とする．$xy$平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に点$\mathrm{A}(\cos \theta ,\sin \theta )$と，$\mathrm{A}$を$\mathrm{O}$のまわりに$90\mathrm{°}$回転した点$\mathrm{B}$をとる．いま，点$\mathrm{A}$における円への接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$とするとき，$\mathrm{B}$の座標は$(\boxed{\text{ト}},\boxed{\text{ナ}})\text{，}\mathrm{C}$の座標は$(\boxed{\text{ニ}},0)\text{，}\mathrm{D}$の座標は$(0,\boxed{\text{ヌ}})$である．また，$\mathrm{A}$を$\mathrm{C}$に，$\mathrm{B}$を$\mathrm{D}$に移す$1$次変換を表す行列は

$\left(\begin{array}{cc}\boxed{\text{ネ}}& \boxed{\text{ノ}}\\ \boxed{\text{ハ}}& \boxed{\text{ヒ}}\end{array}\right)$

である．$\boxed{}$内に適する答を下記から選び，その番号を解答欄に記入せよ．

【５】　正の値をとる$2$つの等比数列$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$は同じ公比$r$をもつとし，それぞれの初項を$a_1=a\text{，}{b}_1=b$とおく．$\{a_n\}\text{，}\{b_n\}$が関係式

${a_{n+1}}^2+4{a_{n+1}}^2=3a_n{b}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$

を満たしているとする．$k={\displaystyle \frac{b}{a}}$とするとき，$r$を$k$の式で表すと，$\boxed{\text{あ}}$である．$a\text{，}b$が正の値をとって変わるとき，$r$は$k=\boxed{\text{い}}$で最大値$\boxed{\text{う}}$をとる．

【６】

$y=x^3+3t^{2}x+t^3\cdots \text{①}$

とする．

(1)　$\text{①}$の右辺を$t$の関数とみなして$f(t)$とおく．$x$が正の数の場合，関数$f(x)$の極限を求めよ．

(2)　$t$が$t>0$の範囲で変化するとき，$x$の$3$次関数$\text{①}$のグラフが通過する領域を$xy$平面上に図示せよ．