1994　慶応義塾大学　環境情報学部MathJax

【１】(1)　条件$\mathrm{p}\text{，}\mathrm{q}$に関し，つぎの1〜7から最も適する番号を選んで答えなさい．

1.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための必要条件

2.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{<mspace\; width=".2em"></mspace>q}$であるための十分条件

3.　$\mathrm{p}$は$\mathrm{q}$であるための必要十分条件

4.　$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{q}$であるための必要条件

5.　$\bar{p}$は$\mathrm{q}$であるための十分条件

6.　$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{q}$であるための必要十分条件

7.　上のいずれでもない

ただし，$\bar{\mathrm{p}}$は$\mathrm{p}$の否定を表す．

(ⅰ)　$k$を実数とするとき，

$\mathrm{p}:k>1$

$\mathrm{q}:x$の方程式$|2x^2-6x+4|={\displaystyle \frac{1}{2}}x-k$は少なくとも$1$つの実数解をもつ

答　$\boxed{\text{ア}}$

(ⅱ)　$\alpha \text{，}\beta$を複素数とするとき，

$\mathrm{p}:(\alpha +\beta )(\alpha -\beta )$は実数である

$\mathrm{q}:\alpha \beta$は実数である

答　$\boxed{\text{イ}}$

【１】(2)　放物線$y=x^2-1$上の点を$\mathrm{P}(t,t^2-1)$とし，$x$軸上の点を$\mathrm{Q}(t,0)$とする．また，$\mathrm{P}$における接線に関して$\mathrm{Q}$と対称な点を$\mathrm{R}(X,Y)$とする．

　点$\mathrm{P}$における接線の方程式は，

$y=\boxed{\text{ア}}tx+\boxed{\text{イ}}{t}^2+\boxed{\text{ウ}}$

であるので，$X\text{，}Y$は，

$X={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}{t}^2+\boxed{\text{オ}}t+\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キ}}{t}^2+\boxed{\text{ク}}t+1}}\text{，}Y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}{t}^2+\boxed{\text{コ}}t+\boxed{\text{サ}}}{\boxed{\text{シ}}{t}^2+\boxed{\text{ス}}t+1}}$

となる．したがって，$(X,Y)$は，

$X^2+\boxed{\text{セ}}{Y}^2+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タ}}}}Y+\boxed{\text{チ}}=0$

を満たす．

【２】(1)　三角形$\mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の$3$等分点のうち$\mathrm{A}$に最も近い点を$\mathrm{D}\text{，}$辺$\mathrm{AC}$の$4$等分点のうち$\mathrm{A}$に最も近い点を$\mathrm{E}$とする．$\mathrm{BE}\text{，}\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{P}$とすると，

${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PE}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{CP}}{\mathrm{PD}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

である．

　また，$\mathrm{AP}$の延長と$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{Q}$とすると，

${\displaystyle \frac{\mathrm{BQ}}{\mathrm{QC}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}}\text{，}{\displaystyle \frac{\mathrm{AP}}{\mathrm{PQ}}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【２】(2)

(ⅰ)　行列$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -a-1& 3-a\end{array}\right)$は$A^2-3A+2I=O$を満たすとする．ただし，$I$は単位行列であり，$O$は零行列を表す．また，$a\text{，}b$は実数とする．このとき，

$a^2+\boxed{\text{ア}}ab+\boxed{\text{イ}}{b}^2+\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}b+\boxed{\text{オ}}=0$

が成り立つ．また，この関係式を満たす自然数$a\text{，}b$は，$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}$である．

(ⅱ)　$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}b=\boxed{\text{キ}}$のときの行列$A$で表される$1$次変換を$f$とする．$f$によって自分自身に移される直線のうち，原点を通るものは，

$y=\boxed{\text{ク}}x$または$y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}x$

である．

【３】(1)　$x$の整式$f(x)$は，

$f(x)=x^3-{\displaystyle \frac{3}{10}}{x}^2{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(f(x)+a)dx-9x+{\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle {\int }_{-1}^1}(f(x)+3x^2)dx$

を満たすとする．ただし，$a$は実数の定数である．このとき，

$f(x)=x^3+\boxed{\text{ア}}{x}^2+\boxed{\text{イ}}x+\boxed{\text{ウ}}a+\boxed{\text{エ}}$

である．さらに，$f(x)=0$が$3$つの異なる実数解をもつ$a$の範囲は，$\boxed{\text{オ}}<a<\boxed{\text{カ}}$である．

【３】(2)　$f(x)=x\text{，}g(y)=-y^2+4y\text{，}h(z)=-12z^3+15z^2-3z$とする．

　条件$x\geqq 0\text{，}y\geqq 0\text{，}z\geqq 0\text{，}x+y+z=4$を満たし，$f(x)+g(y)+h(z)$の値を最大にする$x\text{，}y\text{，}z$の値を求める問題を考える．

　この問題を$2$段階に分けて解く．

　まず，$0\leqq z\leqq 4$を満たす$z$の値を固定し，$x=4-y-z$と表し，$f(4-y-z)+g(y)$を$y$の関数と考えて，$0\leqq y\leqq 4-z$の範囲で最大値を求める．その最大値を$m(z)$とすると，

$0\leqq z<{\displaystyle \frac{5}{2}}$のとき，$m(z)=\boxed{\text{ア}}{z}^2+\boxed{\text{イ}}z+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エ}}}}$

${\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq z\leqq 4$のとき，$m(z)=\boxed{\text{オ}}{z}^2+\boxed{\text{カ}}z+\boxed{\text{キ}}$

である．

　つぎに，$0\leqq z\leqq 4$の範囲で$m(z)+h(z)$の値を最大にすることを考える．$m(z)+h(z)$の値は，

$0\leqq z<{\displaystyle \frac{5}{2}}$の範囲では，$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}}$のとき最大になり，

${\displaystyle \frac{5}{2}}\leqq z\leqq 4$の範囲では，$z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}}$のとき最大となる．

したがって，これらの範囲での最大値を比較することにより，求める$x\text{，}y\text{，}z$の値は，

$x={\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{ス}}}}\text{，}y={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}}{\boxed{\text{ソ}}}}\text{，}z={\displaystyle \frac{\boxed{\text{タ}}}{\boxed{\text{チ}}}}$

であることがわかる．

【４】　数字$0\text{，}1$からなる$2$種のパターンの列$\{P_n\}\text{，}\{Q_n\}$をつぎのようにつくる．まず，$P_0=0\text{，}{Q}_0=1$とする．次に，$P_0\text{，}{Q}_0$に現れている数字$0\text{，}1$を，それぞれ$01\text{，}10$に置き換えて得られるパターンを$P_1\text{，}{Q}_2$とする．すなわち，$P_1=01\text{，}{Q}_1=10$である．同様に，$P_1\text{，}{Q}_1$に現れているすべての数字$0\text{，}1$を，それぞれ同時に$01\text{，}10$に置き換えて得られるパターンを$P_2\text{，}{Q}_2$とする．すなわち，$P_2=0110\text{，}{Q}_2=1001$である．一般に，パターン$P_n\text{，}{Q}_n$に現れているすべての数字$0\text{，}1$を，それぞれ同時に$01\text{，}10$に置き換えて得られるパターンを$P_{n+1}\text{，}{Q}_{n+1}$とする．すると，パターン$P_n$に現れる数字の個数は$2^n$であり，$P_n=P_n{Q}_n$が成立する．ただし，右辺は$P^n\text{，}{Q}_n$を単に横に並べたものである．$P_n\text{，}{Q}_n$は数字の並びとして，

$P_n=a_1{a}_2\cdots a_{2^n}\text{，}{Q}_n=b_1{b}_2\cdots b_{2^n}$

と表すことができる．各$a_i\text{，}{b}_i$は$0\text{，}1$のいずれかの数字である．

　さて，パターン$P_n\text{，}{Q}_n$それぞれに対して，$x$の整式$f_n(x)\text{，}{g}_n(x)$をつぎのように定義する．

$f_n(x)=a_1+a_{2}x+\cdots +a_{2^n}{x}^{2^n-1}$

$g_n(x)=b_1+b_{2}x+\cdots +b_{2^n}{x}^{2^n-1}$

このとき，

(ⅰ)　$f_3(2)=\boxed{\text{ア}}\text{，}{f}_4(1)=\boxed{\text{イ}}\text{，}{g}_4(-1)=\boxed{\text{ウ}}$である．

(ⅱ)　$x\ne 1$のとき，

$f_n(x)+g_n(x)={\displaystyle \frac{\boxed{\text{エ}}{x}^{2^n}+\boxed{\text{オ}}}{x-1}}$

が成り立つ．

(ⅲ)　(ⅱ)の結果を用いれば，$x\ne 1$のとき，

$f_{n+1}(x)=(\boxed{\text{カ}}+\boxed{\text{キ}}{x}^{2^n})f_n(x)+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}{x}^{2^{n+1}}+\boxed{\text{ケ}}{x}^{2^n}}{x-1}}$

が得られる．