1995　大学入試センター試験　追試験　数学IIMathJax

【１】　四角形$\mathrm{ABCD}$において辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{AD}$は平行であるとし，$\mathrm{BC}=a\text{，}$$\mathrm{AD}=b\text{，}$$\mathrm{AB}=c$とおく．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{BC}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}\text{，}$$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

である．

　点$\mathrm{C}$を通り$\mathrm{BD}$に平行な直線と，点$\mathrm{B}$を通り$\mathrm{AC}$に平行な直線との交点を$\mathrm{E}$とすると

$\overrightarrow{\mathrm{AE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}+b}{\boxed{\text{オ}}+b}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{a^2}{\boxed{\text{カ}}(\boxed{\text{キ}}+b)}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$

が成り立つ．

(1)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{CD}}$は

$\overrightarrow{\mathrm{CD}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}+{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ク}}-\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

と表される．したがって，$\mathrm{AE}$と$\mathrm{DC}$が平行であるための条件は

$a={\displaystyle \frac{\boxed{\text{サ}}+\sqrt{\boxed{\text{シ}}}}{\boxed{\text{ス}}}}b$

である．このとき

$\overrightarrow{\mathrm{DE}}={\displaystyle \frac{\boxed{\text{セ}}+\sqrt{\boxed{\text{ソ}}}}{\boxed{\text{タ}}}}\overrightarrow{\mathrm{AB}}$

であり，三角形の面積について

$▵\mathrm{ABD}:▵\mathrm{ADE}=\boxed{\text{チ}}:\boxed{\text{ツ}}+\sqrt{\boxed{\text{テ}}}$

が成り立つ．

(2)　$\angle \mathrm{BAD}$の二等分線上に点$\mathrm{P}$をとると，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$は実数$t$を用いて

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\left({\displaystyle \frac{1}{c}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{\boxed{\text{ト}}}\overrightarrow{\mathrm{AD}}}\right)$

と表される．したがって，点$\mathrm{E}$が$\angle \mathrm{BAD}$の二等分線上にあるための条件は

$c={\displaystyle \frac{a^2}{\boxed{\text{ナニ}}+b}}$

であり，さらに$\mathrm{AE}$と$\mathrm{DC}$が平行ならば

$b:c=2:\boxed{\text{ヌネ}}+\sqrt{\boxed{\text{ノ}}}$

である．

【２】

〔１〕　初項$a$（$a>0$），公比$r$（$0<r<1$）の等比数列$\{a_n\}$が，二つの条件

• (A)　集合$\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}$と集合${\displaystyle \{\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},\frac{1}{a_3},\frac{1}{a_4},\frac{1}{a_5}\}}$が一致する
• (B)　$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5={\displaystyle \frac{31}{4}}$

をみたすとする．

　数列$\left\{{\displaystyle \frac{1}{a_n}}\right\}$は公比${\displaystyle \frac{1}{r}}$の等比数列であるから，条件(A)から

$a{r}^2=\boxed{\text{ア}}\cdots \text{①}$

が成り立つ．

　また

$a_1+a_2+a_3+a_4+a_5$$=a{r}^2{\displaystyle \{{(r+\frac{1}{r})}^2+(r+\frac{1}{r})-\boxed{\text{イ}}\}}\cdots \text{②}$

である．

　このとき$t=r+{\displaystyle \frac{1}{r}}$とおくと，$\text{①}\text{，}\text{②}$と条件(B)から

$t^2+t-{\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウエ}}}{\boxed{\text{オ}}}}=0$

が得られる．したがって

$a=\boxed{\text{カ}}\text{，}$$r={\displaystyle \frac{\boxed{\text{キ}}}{\boxed{\text{ク}}}}$

である．

【２】

〔２〕　$3$次曲線

$C:y=f(x)=x^3-3x$

は直線

$l:y=px+q$

と点$\mathrm{A}$で接し，点$\mathrm{B}$で交わっているとする．

(1)　関数$f\left(x\right)$は$x=\boxed{\text{ケコ}}$のとき最大値$\boxed{\text{サ}}\text{，}$$x=\boxed{\text{シ}}$のとき最小値$\boxed{\text{スセ}}$をとる．

(2)　点$\mathrm{A}\text{，}$$\mathrm{B}$の$x$座標をそれぞれ$a\text{，}$$b$（ただし$a<0<b$）とする．

　このとき$p\text{，}$$q\text{，}$$b$を，$a$を用いて表すと

• $p=\boxed{\text{ソ}}{a}^{\boxed{\text{タ}}}-\boxed{\text{チ}}$
• $q=-\boxed{\text{ツ}}{a}^{\boxed{\text{テ}}}$
• $b=\boxed{\text{トナ}}a$

である．曲線$C$と直線$l$とで囲まれた図形を$y$軸で二つの部分に分けて，$x\leqq 0$である部分の面積を$S_1\text{，}$$x\geqq 0$である部分の面積を$S_2$とする．このとき

$S_1={\displaystyle \frac{\boxed{\text{ニ}}}{\boxed{\text{ヌ}}}}{a}^{\boxed{\text{ネ}}}\text{，}$$S_1:S_2=\boxed{\text{ノ}}:\boxed{\text{ハ}}$

である．

【３】　図$1$のように正六角形を敷きつめた図形がある．$\mathrm{A}$を出発点として，サイコロを振るたびに，隣の正六角形に硬貨を移動させる．ただし，その向きは出た目に応じて図$2$に示された向きとする．

(1)　$2$回目の移動で硬貨が$\mathrm{A}$に戻る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}}$である．

(2)　$2$回目の移動で硬貨が$\mathrm{B}$に移る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ウ}}}{\boxed{\text{エオ}}}}$である．また，$2$回目の移動で$\mathrm{C}$に移る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{カ}}}{\boxed{\text{キク}}}}$である．

(3)　$3$回目の移動で硬貨が$\mathrm{A}$に戻る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ケ}}}{\boxed{\text{コサ}}}}$である．

(4)　$3$回目の移動で硬貨が斜線部分に移る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{シ}}}{\boxed{\text{スセ}}}}$である．

(5)　$4$回目の移動で硬貨が初めて斜線部分に移る確率は${\displaystyle \frac{\boxed{\text{ソ}}}{\boxed{\text{タチ}}}}$である．