1995 大学入試センター試験 新課程問題例 数学II・IIBMathJax

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1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学II,数学IIB

〔2〕と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】

〔1〕  1 でない正の数 x y が等式

logx y+log yx =5 2

を満たしているとする.このとき

logxy = または

であり

logx y+ logy x= エオ または

である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学II,数学IIB

〔1〕と合わせて配点30点

易□ 並□ 難□

【1】

〔2〕 放物線 y= x2 上の 2 A ( 1,1) B ( b,b 2) における接線が x 軸の正の方向となす角をそれぞれ α β とする.このとき

tanα= tanβ= b

である.

 これら 2 接線のなす角が鋭角 θ であるとき

tanθ =| b 1+ b |

である.

  θ=45 ° となるのは

b= スセ または

のときである.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学II,数学IIB

配点30点

易□ 並□ 難□

【2】 座標平面上で放物線 y= x2 C1 ,放物線 y= x2 4x 34 C2 とする.

(1)  C1 上の点 A x 座標を a とする.点 A における C1 の接線の方程式は

y= アイ x

である.

  C2 上の点 B x 座標を b とする.点 B における曲線 C2 の接線の傾きは

オカ b

である.

(2) (1)の点 A B C1 C2 の共通接線 l の接点であるとき

b=a

である.したがって, a は方程式

a2 + a コサ = 0

を満たす. a>0 とすると

a=

である.このとき共通接線 l の方程式は

y= x

である.

 さらに,点 A を通り y 軸に平行な直線と放物線 C2 および直線 l で囲まれた図形の面積は

ソタチ

である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学II

配点20点

易□ 並□ 難□

【3】  O を原点とする座標平面上で直線 y =m x+3 l とする.ただし m <0 とする.

(1) 直線 l 上の 2 点を A (a ,m a+3 ) B (b ,m b+3 ) とするとき

OAB の面積= 2 | - |

である.( は解答の順序を問わない.)

(2) 直線 l と直線 y =5 x との交点を P (p ,q) 直線 l と直線 y = 12 x との交点を R (r ,s) とすると

p= -m r= - m

である.

(3) (2)の点 P R について

OPRの面積 =3

とすると, m 2 次方程式

m2 - コサ m- シス =0

を満たし

m= セソ - チツ

である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学II

配点20点

易□ 並□ 難□

【4】  a を実数とし

f(x )=x 3-3 (a+ 1) x2+ 12a x-12 a2 +4

とする.このとき f (x ) の導関数は

f (x )= (x - ) (x - ウエ )

であり

である.

  f( x) の最大値が 6316 であるならば

a=

であり, f( x) の最小値は である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学IIB

配点20点

【3】〜【6】から2題選択

易□ 並□ 難□

【3】 空間に 4 O ( 0,0, 0) A (2 ,0,0 ) B ( 0,4, 0) C ( 0,0, c) がある.ただし, c>0 とする.

 線分 AC の中点を P ,線分 OB の中点を B とする.直線 P B 上の点を T とすると,ベクトル OT は媒介変数 t を用いて

OT =(0, , 0)+t (1 , イウ , )

と表せる.

 また,線分 BC の中点を Q ,線分 OA の中点を A とする.直線 QA 上の点を S とすると,ベクトル OS は媒介変数 s を用いて

OS =( , 0,0) +s ( キク ,2 , )

と表せる.

  2 直線 PB QA は点 ( , , ) で交わる.

  2 直線 PB QA が直交するのは c= のときである.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学IIB

配点20点

【3】〜【6】から2題選択

易□ 並□ 難□

【4】  a を正の数とし

α=3 β =1+2 3 i γ=1 a+ 3 (2 a) i

とする.

(1)  α β= ( 1 i) γ β= ウエ ( 1+ i) であり

である.(ただし,偏角は 0° から 360° の範囲で答えよ.)

 また, αβ γ β= + i となる.

(2) 複素数平面上で α β γ を表す点をそれぞれ A B C とする.

  AB=BC となるのは, a= のときである.

 このとき, ABC の重心を表す複素数 δ

δ= + i

であり, δ を解とする実数係数の 2 次方程式は

x2 x + =0

である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学IIB

配点20点

【3】〜【6】から2題選択

易□ 並□ 難□

【5】 さいころを 2 回投げ,出た目の数の和を X とする.

 このとき X=7 となる確率は である.

  X の値から得点 Y を,次の規則によって定める.

 このとき, Y=1 となる確率は エオ Y=7 となる確率は Y=2 3 4 5 6 となる確率はすべて等しくて, ケコ である.したがって, Y の平均は サシ スセ である.

 また, 1 回目に 5 が出たとき,もう 1 回投げて得点 Y 3 以上になる確率は である.

1995 大学入試センター試験 新課程問題例

数学IIB

配点20点

【3】〜【6】から2題選択

易□ 並□ 難□

【6】 下の三つのプログラムの中から一つを選んで,その動作に関する次の問に答えよ.

(1) a=? に対して 3 を入れたとき, 個の数が表示される.

 このとき,表示される初めの 3 個の数は順に である.

(2) a=? に対して 1 けたの数 x を入れたとき, 3 番目に表示される数は 5 であった.

 このとき, x= または である.

は解答の順序を問わない.)

(BASICのプログラム)

(Pascalのプログラム)

C 言語のプログラム)

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