1995 北海道大学 前期MathJax

Mathematics

Examination

Test

Archives

1995 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【1】  π2 <θ< π2 で, 2cos 2 θ+a sin 2θ =1 のとき, tan θ a を用いて表せ.

1995 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【2】  f をつぎの行列 A で与えられる一次変換とする.

A=( 34 14 1 4 34 )

(1) 点 P (x, y),( x 2+ y2= 2 が, f (P )=P をみたすとき, P の座標を求めよ.

(2) 点 P 0( x0 ,y0 ) を出発点とし,点 Pn ( xn, yn ) Pn+ 1= f( Pn ) によって順に定める. (x 0, y0) =( 1,1 ) のとき, Pn の座標は ( ( 12 ) n, (1 2) n ) となることを示せ.

(3)  (x0 ,y 0)= (2, 0) のとき P n の座標を求めよ.

1995 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【3】 平面上に 2 つの円

C1: x2+ y2= 1 C2 :( x1) 2+ (y 2)2 =R2

を考える.ただし, R>1 +5 とする.

(1) 円 C 2 は円 C 2 の内部に含まれることを示せ.

(2) 円 C 2 上の点 P を通り,円 C 1 に接する 2 本の直線が点 P においてなす角度を θ とする.また,点 P と原点 O との距離を d とする.このとき, cos θ d を用いて表せ.

(3) (2)において θ = π2 となるような点 P が円 C 2 上に存在するための R のみたすべき条件を求めよ.

1995 北海道大学 前期

文系学部

易□ 並□ 難□

【4】 曲線 y =x2 (x +1) と直線 y =k2 (x +1) とで囲まれる部分の面積が最小になるように,定数 k の値を定めよ.ただし 0 k 1 とする.

1995 北海道大学 前期

理系学部

易□ 並□ 難□

【1】 一次変換 f は点 (1 ,2) を点 P (a, 1a ) に移す.また点 (−2 ,1) の像を Q とするとき, POQ は直角で,線分 OP OQ の長さは等しいとする.

 このとき,つぎの問いに答えよ.

(1)  f を表す行列 A a を用いて表せ.

(2)  f が回転となるとき, A を定めよ.

1995 北海道大学 前期

理系学部

易□ 並□ 難□

【2】 平面において,つぎの 2 本の直線 l m を考える.ただし, π4 <θ< π2 である.

  l m の交点を (x (θ ),y (θ) ) とするとき,つぎの問いに答えよ.

(1)  y( θ) を求めよ.

(2)  limt 0 1+ tan (3 π4 π2 t ) t を求めよ.

(3)  limθ π2 y( θ) を求めよ.

1995 北海道大学 前期

理系学部

易□ 並□ 難□

【3】  f(x )= 2e x+e x sinx とする. f( x)=0 となる x 0 x π の範囲にはちょうど 2 個存在し, 1 個は区間 [0 , π2 ] に, 1 個は区間 [ π 2, π] にあることを示せ.

1995 北海道大学 前期

理系学部

易□ 並□ 難□

【4】 関数 f (x) x> 0 で定義され,

(*)  1 x (t+x )f (t )d t=4 x 4

をみたす.このとき,つぎの問いに答えよ.

(1) (*)の両辺を微分し, y= 1 x f( t) dt のみたす微分方程式を求めよ.

(2)  f( x) を求めよ.

1995 北海道大学 前期

理系学部

易□ 並□ 難□

【5】 座標平面上の原点からつぎの規則で動く.

 格子点(原点を含む)ではコインを投げ,表がでれば x 軸の正の方向に 1 裏がでれば y 軸の正の方向に 1 進む.

 コインを N 回投げ,長さ N だけ進むあいだに,直線 x =2 上を長さ 1 以上通過する確率を P N とする.このとき,つぎの問いに答えよ.ただし,コインの表がでる確率,裏がでる確率はいずれも 12 とする.また,格子点とは x 座標と y 座標がともに整数となる点のことである.

(1)  P 4 を求めよ.

(2)  P N N 3 を求めよ.

(3)  limN PN を求めよ.

inserted by FC2 system