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1995-10001-0101
1995 北海道大学 前期
文系学部
易□ 並□ 難□
【1】 − π2 <θ< π2 で, 2⁢cos ⁡2⁢ θ+a ⁢sin⁡ 2⁢θ =1 のとき, tan ⁡θ を a を用いて表せ.
1995-10001-0102
【2】 f をつぎの行列 A で与えられる一次変換とする.
A=( 34 − 14 −1 4 34 )
(1) 点 P (x, y),( x 2+ y2= 2 ) が, f ⁡(P )=P をみたすとき, P の座標を求めよ.
(2) 点 P 0( x0 ,y0 ) を出発点とし,点 Pn ( xn, yn ) を Pn+ 1= f⁡( Pn ) によって順に定める. (x 0, y0) =( 1,1 ) のとき, Pn の座標は ( ( 12 ) n, (1 2) n ) となることを示せ.
(3) (x0 ,y 0)= (2, 0) のとき P n の座標を求めよ.
1995-10001-0103
【3】 平面上に 2 つの円
C1: x2+ y2= 1 ,C2 :( x−1) 2+ (y− 2)2 =R2
を考える.ただし, R>1 +5 とする.
(1) 円 C 2 は円 C 2 の内部に含まれることを示せ.
(2) 円 C 2 上の点 P を通り,円 C 1 に接する 2 本の直線が点 P においてなす角度を θ とする.また,点 P と原点 O との距離を d とする.このとき, cos⁡ θ を d を用いて表せ.
(3) (2)において θ = π2 となるような点 P が円 C 2 上に存在するための R のみたすべき条件を求めよ.
1995-10001-0104
【4】 曲線 y =x2 ⁢(x +1) と直線 y =k2 ⁢(x +1) とで囲まれる部分の面積が最小になるように,定数 k の値を定めよ.ただし 0 ≦k≦ 1 とする.
1995-10001-0105
理系学部
【1】 一次変換 f は点 (1 ,2) を点 P (a, 1−a ) に移す.また点 (−2 ,1) の像を Q とするとき, ∠POQ は直角で,線分 OP と OQ の長さは等しいとする.
このとき,つぎの問いに答えよ.
(1) f を表す行列 A を a を用いて表せ.
(2) f が回転となるとき, A を定めよ.
1995-10001-0106
【2】 平面において,つぎの 2 本の直線 l と m を考える.ただし, π4 <θ< π2 である.
l と m の交点を (x ⁡(θ ),y⁡ (θ) ) とするとき,つぎの問いに答えよ.
(1) y⁡( θ) を求めよ.
(2) limt →0 ⁡ 1+ tan⁡ (3 ⁢π4 − π2 ⁢t ) t を求めよ.
(3) limθ → π2 ⁡ y⁡( θ) を求めよ.
1995-10001-0107
【3】 f⁡(x )= 2e x+e −x − sin⁡x とする. f⁡( x)=0 となる x は 0 ≦x≦ π の範囲にはちょうど 2 個存在し, 1 個は区間 [0 , π2 ] に, 1 個は区間 [ π 2, π] にあることを示せ.
1995-10001-0108
【4】 関数 f⁡ (x) は x> 0 で定義され,
(*) ∫1 x⁡ (t+x )⁢f ⁡(t )⁢d t=4 ⁢x− 4
をみたす.このとき,つぎの問いに答えよ.
(1) (*)の両辺を微分し, y= ∫1 x⁡ f⁡( t)⁢ dt のみたす微分方程式を求めよ.
(2) f⁡( x) を求めよ.
1995-10001-0109
【5】 座標平面上の原点からつぎの規則で動く.
格子点(原点を含む)ではコインを投げ,表がでれば x 軸の正の方向に 1 , 裏がでれば y 軸の正の方向に 1 進む.
コインを N 回投げ,長さ N だけ進むあいだに,直線 x =2 上を長さ 1 以上通過する確率を P N とする.このとき,つぎの問いに答えよ.ただし,コインの表がでる確率,裏がでる確率はいずれも 12 とする.また,格子点とは x 座標と y 座標がともに整数となる点のことである.
(1) P 4 を求めよ.
(2) P N( N ≧3 ) を求めよ.
(3) limN →∞ ⁡ PN を求めよ.