1995　室蘭工業大学　後期MathJax

【１】　次の各問いに答えよ，

(1)　球面$x^2+y^2+z^2-6x-2y-6=0$がある．この球面によって直線$2x=y=-z$から切りとられてできる線分の長さを求めよ．

【１】　次の各問いに答えよ，

(2)　次の不等式を満たす整数$x$を求めよ．

${16}^{-x}-2^{3-2x}+12<0$

【１】　次の各問いに答えよ，

(3)　次の極限値を求めよ．

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x^2+2x+2}-\sqrt{x^2-2x+2})$

【２】　次の各問いに答えよ．以下，行列の成分はすべて実数とする．

(1)　$M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$が逆行列をもたないとき，$M^2=(p+s)M$であることを示せ．

(2)　$O=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)\text{，}A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}e& f\\ g& h\end{array}\right)$とする．

$X=AB\text{，}Y=BA$

とおき，$X^2=O$とする．

(ⅰ)　$X$と$Y$はいずれも逆行列をもたないことを示せ．

(ⅱ)　$Y^2=O$であることを示せ．

【３】　関数$f(x)$は$f(0)=1$をみたし，$x=-1$で極値$0$をとる．さらに$e^{x}f(x)$は$x$の$2$次関数であるとする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　$x\geqq -1$のとき$f(x)\leqq x+1$であることを示せ．

(3)　直線$y=x+1$と曲線$y=f(x)$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】　次の各問いに答えよ，

(1)　$0<k<1$とする．平面上で，原点のまわりの角$\theta$の回転移動を$f\text{，}$原点を中心とする相似比$k$の相似変換を$g$で表す．合成変換$f\circ g$を$1$回の操作とし，はじめの点${\mathrm{P}}_0(1,1)$が$n$回の操作によって移される点を${\mathrm{P}}_n$とする．点${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_1\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_n$を準に結んでできる折れ線の長さを$l_n$とするとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{l}_n$を求めよ．ただし，$f$と$g$はそれぞれ$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$と$\left(\begin{array}{cc}k& 0\\ 0& k\end{array}\right)$であらわ和される$1$次変換である．

【４】　次の各問いに答えよ，

(2)　$a>0$とする．点$\mathrm{P}$の座標$(x,y)$が時刻$t$の関数として

$\{\begin{array}{l}x=a^t\cos t\\ y=a^t\sin t\end{array}$

で表される．$t=0$から$t=T$までの間に$\mathrm{P}$が通過する道のりを求めよ．