1995　旭川医科大学　後期MathJax

【１】　$x$の関数

$f(x)={\displaystyle {\int }_0^x}(x-t)e^t(e^t-2)dt$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値を与える$x$の値を求めよ．

(2)　$f(x)$の極小値を求めよ．

(3)　$f(x)$をみたす$x$の値（$x\ne 0$とする）は$\log 4$と$\log 5$の間にあることを示せ．ただし，必要ならば$\log 2=0.6931\cdots$を用いてよい．

【２】　$2$つの曲線

$y=x\sin {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}\cdots \text{①}$

$y={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\cos {\displaystyle \frac{\pi x}{2}}+a\cdots \text{②}$

について，次の各問いに答えよ．

(1)　曲線$\text{①}$上の点$(1,1)$における接線$l$の方程式を求めよ．

(2)　(1)で求めた接線$l$が曲線$\text{②}$と接するのは$a$がどのような値のときか．そのような$a$をすべて求めよ．

(3)　いま曲線$\text{②}$における$a$を，(2)で求めた$a$のうちで絶対値が最小のものとする．曲線$\text{②}\text{，}$接線$l$及び$y$軸の囲む図形の面積$S_1$は，$0\leqq x\leqq 1$の範囲で曲線$\text{①}$と接線$l$の囲む図形の面積$S_2$と等しいことを示せ．

【３】　$a$は正の定数とする．方程式

$x+\sqrt{x^2-1}=a{x}^2$

の異なる実数解の個数を調べよ．

【４】　袋の中に，$2$の数字を書いた札が$4$枚，$-1$の数字を書いた札が$6$枚，合計$10$枚の札が入っている．いま，サイコロを$1$つ投げて，出た目の数と等しい枚数の札を袋から引き，引いた札に書かれている数字の合計を得点とするゲームを行う．次の各問いに答えよ．

(1)　$4$点を得る確率を求めよ．

(2)　サイコロを投げたとき，出た目が$2$の場合と，$3$の場合とではどちらが高得点を期待できるか．