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1995-10081-0101
1995 東北大学 前期
文系
易□ 並□ 難□
【1】 S を方程式 x2 +y2 +z2 =5 の定める球面とする.
(ⅰ) S 上の一点 P における接平面を考える.原点 O , 接平面上の点 Q に対し,内積 OP →⋅ OQ→ を求めよ.
(ⅱ) S 上の 2 点 P1 (2, 0,1) ,P2 (0, 2,1) のそれぞれにおける接平面を考える.両方の接平面に含まれる点のうち,原点 O からの距離が最小である点 R を求めよ.
1995-10081-0102
【2】 関数
y=-x 4+x 3+x 2-x- |x4 +x3 -x2 -x|
の増減を調べ,そのグラフをかけ.
1995-10081-0103
【3】 n=0 ,1 ,2 ,3 に対し
∫ -11 ⁡x n⁢f⁡ (x)⁢ dx=0
を同時に満たす 4 次式 f⁡ (x) を求めよ.ただし, f⁡(x ) の x4 の係数は 1 とする.
1995-10081-0104
【4】 放物線 C: y= 12⁢ (x 2+3 ) 上に 2 点 A ( a, 12⁢ ( a2+ 3)) , B( b, 12 ⁢ (b 2+3 )) ( a<b ) をとる. A における C の接線と B における C の接線の交点を P とする.
(ⅰ) P の座標を a ,b を用いて表せ.
(ⅱ) ∠APB= 45° のとき, a と b の関係式を求めよ.
(ⅲ) ∠APB= 45° という関係を満たすように A ,B を動かすとき, P の軌跡を求め,それを図示せよ.
1995-10081-0105
理系
【1】 A=( a b cd ) とする. A2 が角 θ (0 <θ< π) の回転を表す行列であれば, A も回転を表す行列であることを証明せよ.
1995-10081-0106
【2】 関数 f⁡ (x)= e3⁢ x-6 ⁢e2 ⁢x+ 9⁢e x を考える.
(ⅰ) f⁡(x ) の極値を求めよ.
(ⅱ) (ⅰ)で求めた極大値を b とする.曲線 y= f⁡(x ) と直線 y= b によって囲まれる図形の面積を求めよ.
1995-10081-0107
【3】 1 から 20 までの番号札がそれぞれ 1 枚ずつある.これらの 20 枚の番号札から同時に 2 枚無作為に取り出し,大きい番号を m とし,小さい番号を n とする.実数 α に対して [ α] は α を超えない最大の整数を表すものとして,以下の問いに答えよ.
(ⅰ) [log 10⁡ m n] =1 となる m ,n の組をすべて求めよ.
(ⅱ) log10⁡ mn < [log 10⁡ mn ] +log10 ⁡2 となる確率を求めよ.
1995-10081-0108
【4】 平面 z= x-y 上の 4 点 A( 0,0, 0), B(1 ,1,0 ), C(2 ,1,1 ), D(1 ,0,1 ) を頂点とする四角形(内部を含む)を x 軸のまわりに回転させてできた立体を K とする.
(ⅰ) 平面 x= t( 0≦ t≦2 ) による K の切り口の面積 S⁡ (t) を求めよ.
(ⅱ) K の体積を求めよ.
1995-10081-0109
理学部,工学部
【5】 n を 0 または正の整数とし,
In= ∫ -ππ ⁡x n⁢cos ⁡x⁢d x, Jn= ∫ -ππ ⁡x n⁢sin⁡ x⁢dx
とする.
(ⅰ) n≧1 のとき, In と J n-1 の関係式,および Jn と I n-1 の関係式を求めよ.
(ⅱ) n=0 ,1 ,2 ,3 ,4 に対して In の値を求めよ.
(ⅲ) n=0 ,1 ,2 に対し
∫ -ππ ⁡x n⁢f⁡ (x )⁢ dx=4 ⁢π
を同時に満たす x の 2 次式 f⁡ (x) を求めよ.
1995-10081-0110
理学部・工学部
【6】 0<u< π 4 ,0< θ< π2 とする.
(ⅰ) 1 tan⁡u - 2 tan⁡2 ⁢u を簡単にせよ.
(ⅱ) 無限級数 ∑ n=1 ∞⁡ 12n ⁢ tan⁡ θ 2n の和を求めよ.ただし, limx→ 0⁡ tan⁡x x=1 を用いてよい.
文系・理系の学部・学科別
文系 文学部・教育学部・法学部・経済学部
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