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1995 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【1】  S を方程式 x2 +y2 +z2 =5 の定める球面とする.

(ⅰ)  S 上の一点 P における接平面を考える.原点 O 接平面上の点 Q に対し,内積 OP OQ を求めよ.

(ⅱ)  S 上の 2 P1 (2, 0,1) P2 (0, 2,1) のそれぞれにおける接平面を考える.両方の接平面に含まれる点のうち,原点 O からの距離が最小である点 R を求めよ.

1995 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【2】 関数

y=-x 4+x 3+x 2-x- |x4 +x3 -x2 -x|

の増減を調べ,そのグラフをかけ.

1995 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【3】  n=0 1 2 3 に対し

-11 x nf (x) dx=0

を同時に満たす 4 次式 f (x) を求めよ.ただし, f(x ) x4 の係数は 1 とする.

1995 東北大学 前期

文系

易□ 並□ 難□

【4】 放物線 C: y= 12 (x 2+3 ) 上に 2 A ( a, 12 ( a2+ 3)) B( b, 12 (b 2+3 )) a<b をとる. A における C の接線と B における C の接線の交点を P とする.

(ⅰ)  P の座標を a b を用いて表せ.

(ⅱ)  APB= 45° のとき, a b の関係式を求めよ.

(ⅲ)  APB= 45° という関係を満たすように A B を動かすとき, P の軌跡を求め,それを図示せよ.

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理系

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【1】  A=( a b cd ) とする. A2 が角 θ 0 <θ< π の回転を表す行列であれば, A も回転を表す行列であることを証明せよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【2】 関数 f (x)= e3 x-6 e2 x+ 9e x を考える.

(ⅰ)  f(x ) の極値を求めよ.

(ⅱ) (ⅰ)で求めた極大値を b とする.曲線 y= f(x ) と直線 y= b によって囲まれる図形の面積を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【3】  1 から 20 までの番号札がそれぞれ 1 枚ずつある.これらの 20 枚の番号札から同時に 2 枚無作為に取り出し,大きい番号を m とし,小さい番号を n とする.実数 α に対して [ α] α を超えない最大の整数を表すものとして,以下の問いに答えよ.

(ⅰ)  [log 10 m n] =1 となる m n の組をすべて求めよ.

(ⅱ)  log10 mn < [log 10 mn ] +log10 2 となる確率を求めよ.

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理系

易□ 並□ 難□

【4】 平面 z= x-y 上の 4 A( 0,0, 0) B(1 ,1,0 ) C(2 ,1,1 ) D(1 ,0,1 ) を頂点とする四角形(内部を含む)を x 軸のまわりに回転させてできた立体を K とする.

(ⅰ) 平面 x= t 0 t2 による K の切り口の面積 S (t) を求めよ.

(ⅱ)  K の体積を求めよ.

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理学部,工学部

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【5】  n 0 または正の整数とし,

In= -ππ x ncos xd x Jn= -ππ x nsin xdx

とする.

(ⅰ)  n1 のとき, In J n-1 の関係式,および Jn I n-1 の関係式を求めよ.

(ⅱ)  n=0 1 2 3 4 に対して In の値を求めよ.

(ⅲ)  n=0 1 2 に対し

-ππ x nf (x ) dx=4 π

を同時に満たす x 2 次式 f (x) を求めよ.

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理学部・工学部

易□ 並□ 難□

【6】  0<u< π 4 0< θ< π2 とする.

(ⅰ)  1 tanu - 2 tan2 u を簡単にせよ.

(ⅱ) 無限級数 n=1 12n tan θ 2n の和を求めよ.ただし, limx 0 tanx x=1 を用いてよい.

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