1995　東北大学　後期MathJax

【１】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right)$およびベクトル$\overrightarrow{a}=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}1\\ t\end{array}\right)$について，次の問いに答えよ．ただし，$t>0$とする．

(ⅰ)　$A\overrightarrow{p}=\left(\begin{array}{c}x\\ sx\end{array}\right)$とするとき，不等式

$|s-2|\leqq {\displaystyle \frac{2}{3}}|t-2|$

を示せ．

(ⅱ)　${\displaystyle \frac{|A\overrightarrow{p}|}{|\overrightarrow{p}|}}\leqq {\displaystyle \frac{|A\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|}}$となる$t$の範囲を求めよ．

【２】　空間に$4$点$\mathrm{A}(4,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,0,2)\text{，}\mathrm{C}(0,1,4)\text{，}\mathrm{D}(3,8,3)$がある．

(ⅰ)　三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面の方程式を求めよ．

(ⅲ)　四面体$\mathrm{ABCD}$の体積を求めよ．

【３】　$0\leqq c\leqq 1$とする．数列$\{a_n\}$が帰納的に

$a_1=1\text{，}{a}_2=1-{\displaystyle \frac{c}{2}}\text{，}{a}_n=a_{n-1}-{\displaystyle \frac{c}{4}}{a}_{n-2}\text{（}n\geqq 3\text{）}$

で定義されている．このとき，

$a_n={\sin }^{2n}\theta +{\cos }^{2n}\theta \text{（}n=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{）}$

を満たす$\theta (0\leqq \theta \leqq {\displaystyle \frac{\pi }{4}})$が存在することを示せ．

【４】　関数$f(x)\text{，}g(x)$を

$f(x)=|x^2+2x|-x^2-2x$

$g(x)={\displaystyle {\int }_{-2}^x}f(t)dt$

で定める．ただし，$x$はすべての実数を動くものとする．

(ⅰ)　$y=f(x)$のグラフをかけ．

(ⅱ)　$y=g(x)$のグラフをかけ．

(ⅲ)　曲線$y=g(x)$の接線で傾きが${\displaystyle \frac{3}{2}}$であるものをすべて求めよ．

【１】　空間に$3$点$\mathrm{A}(\sqrt{2},\sqrt{2},0)\text{，}\mathrm{B}(1,-1,\sqrt{2})\text{，}\mathrm{C}(-1,1,\sqrt{2})$が与えられている．

(ⅰ)　ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$のなす角を求めよ．

(ⅱ)　$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$を通る平面$S$の方程式を求めよ．

(ⅲ)　原点$\mathrm{O}$を通る球面で，平面$S$による切り口が三角形$\mathrm{ABC}$の内接円となるものの方程式を求めよ．

【２】　$2$つの不等式

$3x^2+y^2\leqq 3\text{，}y\geqq x-1$

を同時に満たす$xy$平面の領域の面積を求めよ．

【３】　図のような$4$個の点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$を結んだ図形を考える．動点$\mathrm{P}$は点$\mathrm{A}$を出発点として$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$上を移動する．$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}$または$\mathrm{C}$にいるときは，残りの$3$点にそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{3}}$の確率で移動し，$\mathrm{P}$が$\mathrm{B}$または$\mathrm{D}$にいるときは，$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{C}$にそれぞれ${\displaystyle \frac{1}{2}}$の確率で移動する．$n$回の移動後$\mathrm{P}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にいる確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$とする．

(ⅰ)　$a_{n+1}\text{，}{c}_{n+1}$を$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$を用いて表せ．

(ⅱ)　数列$\{a_n+c_n\}\text{，}\{a_n-c_n\}$のそれぞれの漸化式を導け．

(ⅲ)　$a_n\text{，}{c}_n$を求めよ．

【４】　放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2-1$上の点$\mathrm{T}(t,{\displaystyle \frac{t^2}{2}}-1)$における法線を$l_t$とする．

(ⅰ)　$l_t$が点$\mathrm{P}(p,q)$を通るとき，$p\text{，}q\text{，}t$の満たす関係式を求めよ．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}(p,{\displaystyle \frac{3}{2}})$を通る法線$l_t$の本数について調べよ．

(ⅲ)　点$\mathrm{P}(p,q)$を通る法線$l_t$がちょうど$2$本あるとき，$p$と$q$の満たす関係式を求めよ．

【５】　$a>2$とし，$f(x)=x^2{e}^{-|x-a|}$とする．

(ⅰ)　$f(x)$の極値を求めよ．

(ⅱ)　極限値$\underset{a\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{a^2}}{\displaystyle {\int }_{-a}^a}f(x)dx$を求めよ．