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1995-10162-0201
1995 筑波大学 前期
自然学類選択問題
易□ 並□ 難□
【1】 曲線 y= 1 2⁢ ( ex+ e-x ) を l とする. l 上の点 P (s, t) ( s>0 ) から x 軸に下ろした垂線の足を P ′ とする.線分 P P′ を直径とする円を描く.この円周上に,点 Q (X, Y) を P ′Q= 1 となるように線分 P P′ の左側にとる.
(1) X ,Y を, s を用いて表せ.
(2) 直線 PQ は曲線 l に接することを示せ.
(3) 点 P が曲線 l 上を動くとき,点 Q の描く曲線を l′ とする.曲線 l′ 上の点 Q での接線は,直線 PQ に直交することを示せ.
1995-10162-0202
【2】 先手と後手のあるゲームを繰り返し行い, A と B が試合をする.先手がゲームに勝つ確率は p ( 0<p< 1), 後手が勝つ確率は q= 1-p とする.試合ではまず A が 1 回先手をもち,次に B が 2 回続けて先手をもつ.以後 2 回ずつ交互に先手をもつ.ゲームに 1 回勝つごとに 1 点が与えられ,合計得点で 2 点差がついたとき試合の勝敗がきまる.
(1) 奇数回目のゲームでは試合の勝敗はきまらないことを示せ.
(2) 2⁢k 回目で A が試合に勝つ確率 P⁡ (k ) を求めよ.
(3) limn→ ∞⁡ ∑ k=1 n⁡ P⁡(k ) を求めよ.