1995　埼玉大学　前期(経済,教育学部)MathJax

【１】　$2$次の正方行列$A\text{，}X$を

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\text{，}X=\left(\begin{array}{cc}y& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$

とおく．任意の実数$y$について$A{X}^2=X^{2}A$が恒等的に成り立つとき，実数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}d$の満たす条件を求めよ．

【２】(1)　$2$点$(2,-4)\text{，}(-1,5)$を通る直線$g$の方程式を求めよ．

(2)　点$(x,y)$が直線$g$上を動くとき，$8^x+2^y+3$を最小とする$x\text{，}y$の値と，その最小値を求めよ．

【３】　空間における$2$点$\mathrm{A}(6,6,8)\text{，}\mathrm{B}(5,12,16)$に対し，$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分の長さの和$\mathrm{AP}+\mathrm{PB}$が最小となるようにするとき，点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

【４】　曲線$C$を$y=p{x}^3+q{x}^2+rx+s\text{，}$直線$l$を$y=mx$とし，

$f(x)=p{x}^3+q{x}^2+rx+s$

とおく．

(1)　曲線$C$の接線の傾きの最小値が$-1$で，$f(x)$が$x=\pm {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$で極値をとるとき，$p\text{，}q\text{，}r$の値を求めよ．

(2)　さらに，曲線$C$と直線$l$が点$(-1,-m)$で接するとき，$s\text{，}m$の値を求めよ．

(3)　また，上の(2)のとき，曲線$C$と直線$l$とで囲まれる図形の面積を求めよ．