1995　埼玉大学　後期(理,工学部)MathJax

【１】　半径$1$の円を$y=-\left|x\right|$のグラフに上側から接するように動かす．

(1)　この円の中心の軌跡を$y=f(x)$の形で表せ．

(2)　$f(x)$の導関数を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{4}}& -{\displaystyle \frac{1}{4}}\end{array}\right)$に対し，次の各問いに答えよ．

(1)　$A^2\text{，}{A}^3$を求めよ．

(2)　$A^k\text{（}k\geqq 1\text{）}$を求めよ．

(3)　自然数$n$について${\displaystyle \sum _{k=1}^{3n}}{A}^k$を求めよ．

【３】　自然数$n$に対して

$a_n={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\{{(1+\sqrt{2})}^n-{(1-\sqrt{2})}^n\}$

とおく．

(1)　$a_n$は整数であることを示せ．

(2)　$\underset{n\to \infty }{\lim }\sin ({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{(1+\sqrt{2})}^n\pi )$を求めよ．

【４】　$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}x(x-3)$とおく．

(1)　$xy$平面内の$2$曲線$y=f(x)\text{，}x=f(y)$の交点をすべて求めよ．

(2)　$xy$平面内で$y\geqq f(x)\text{，}$および$x\geqq f(y)$をともに満たす領域を図示し，その面積を求めよ．