1995　埼玉大学　前期(理（数）学部)MathJax

【１】　$2^n=n^2$となる整数$n$をすべて求めよ．

【２】　座標平面上に図のように長方形$\mathrm{OABC}$があり，それが$2$つの曲線$y=\sin x\text{，}y=\cos x$によって$4$つの領域$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$に分割されている．いま，長方形内から無作為に$1$点$\mathrm{P}$を選ぶとき，$\mathrm{P}$が$S_1$に含まれれば得点$1\text{，}{S}_2$に含まれれば得点$2\text{，}{S}_3$に含まれれば得点$3\text{，}{S}_4$に含まれれば得点$4$が得られるとする．ただし，境界線上は得点$0$とする．$\mathrm{P}$が各領域に含まれる確率はその面積に比例するものとするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{P}$が$S_1\text{，}{S}_2\text{，}{S}_3\text{，}{S}_4$に含まれる確率をそれぞれ求めよ．

(2)　得点の期待値を求めよ．

【３】　関数$f(x)$が与えられているとき，微分方程式

${\displaystyle \frac{dy}{dx}}-xy=f(x)$

を$x=0$のとき$y=1$という初期条件の下で考える．

(1)　上の微分方程式の解$y$を$y=u(x)e^{\frac{x^2}{2}}$とおくことによって，関数$f(x)$を用いて表せ．

(2)　$f(x)=x^3$のとき，上の微分方程式の解を求めよ．