1995　千葉大学　後期理学部MathJax

【１】　$xy$平面上で，原点を中心とする回転角$\alpha$の回転を$f$とし，直線

$x\sin \beta -y\cos \beta =0$

に関する対称変換を$g$とする．このとき，$f\circ g=g\circ f$を満たすための$\alpha \text{，}\beta$の条件を求めよ．

【２】　図のような$4$つの側面がすべて等脚台形からなる$\stackrel{\text{すいそう}}{\text{水槽}}$がある．この$\stackrel{\text{すいそう}}{\text{水槽}}$の側面は横$5\mathrm{m}\text{，}$縦$3\mathrm{m}$の長方形，上面は横$6\mathrm{m}\text{，}$縦$4\mathrm{m}$の長方形で，深さは$3\mathrm{m}$である．

(1)　$\stackrel{\text{すいそう}}{\text{水槽}}$の容積を求めよ．

(2)　隣り合う$2$つの側面のなす角を$\theta$とするとき，$\cos \theta$を求めよ．

(3)　この$\stackrel{\text{すいそう}}{\text{水槽}}$に毎秒$0.1{\mathrm{m}}^3$の割合で水を入れるとき，水深が$1\mathrm{m}$に達した瞬間の水面の上昇速度を求めよ．

【３】　$xy$平面の曲線$y=e^{-{(x-a)}^2}$（$e$は自然対数の底）上に異なる$3$点があり，それらの点における接線がすべて原点を通っている．

(1)　$a$の値の範囲を求めよ．

(2)　この曲線の変曲点は隣り合う$2$接点の間に$1$つずつあることを示し，グラフの概形を描け．

【４】　$n$を自然数とし，$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して

$a_k={\displaystyle {\int }_0^1}{(1-x^{\frac{1}{k}})}^{n-k}dx$

とおく．このとき，

${\displaystyle \sum _{k=1}^n}{\displaystyle \frac{1}{a_k}}=2^n-1$

が成り立つことを示せ．

【５】　あるつぼに，$1$から$n$までの異なる数字が$1$つずつ書かれた球が$n$個入っている．このつぼから球を$1$個ずつ$m$回取り出したときの球の数字の最大値を$X_n$とおく．ただし，各回とも取り出した球は元にもどすものとする．

(1)　$k=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$に対して，$X_n\leqq k$である確率を$P_k$とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{k=1}^n}{P}_k$

を$m$で表せ．

(2)　$X_n$の平均を$E_n$とするとき，

$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{E_n}{n}}$

を$m$で表せ．