1995　東京大学　後期理科Ⅰ類総合科目ⅡMathJax

【１】　図に示す水平に並んだ点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$で，それぞれ重さ$W$の物体を天井${\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{E}$から吊ることを考える．吊る方法は，各点において$1$本または$2$本のワイヤを用いるものとし，$2$本のワイヤを用いる場合は$2$本とも図の面$\mathrm{O}{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }\mathrm{E}$内に張られ，鉛直方向とワイヤのなす角度を等しくするものとする．また，ワイヤの重さはないものとする．この物体を吊るのに要する費用は，ワイヤに作用する引張力とワイヤの長さの積に比例し，$2$本の場合は両方の費用の和になるものとして，次の問い(1)，(2)，(3)に答えよ．

(1)　点$\mathrm{A}$において，最も安価な吊り方はどのような方法か．

(2)　点$\mathrm{B}$において，最も安価な吊り方はどのような方法か．

(3)　点$\mathrm{D}$において，$2$本のワイヤで吊るほうが$1$本のワイヤで吊るより安価になるのはどのような場合か．

　次に，点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にそれぞれ電球を$1$個設置し，床$\mathrm{OE}$を照らすことを考える．天井からの光の反射は無視し，電球から直接床に届く光のみを考える．光度$Q$の電球による床$\mathrm{OE}$上の点における照度$P$は，電球の床からの高さ$a\text{，}$およびその点と電球との距離$r$とによって

$P={\displaystyle \frac{kQa}{r^3}}$（$k$：比例定数）

で表される．電球が複数個ある場合，その点の照度はそれぞれによる照度の和となる．$4$箇所の電球の光度は等しいとして，次の問い(4)，(5)，(6)に答えよ．

(4)　点$\mathrm{B}$に設置した電球のみが切れたとき，$\mathrm{A}$の真下および$\mathrm{B}$の真下にある床$\mathrm{OE}$上の点$A^{″}$と${\mathrm{B}}^{″}$はどちらが明るいか．

(5)　$4$個の電球はそれぞれ正常か切れているかのどちらかであるとき，その組合せは全部で何通りあるか．また，そのうちで$A^{″}$が${\mathrm{B}}^{″}$より明るい場合の数はいくつか．

(6)　電源を入れたとき，任意の$1$個の電球が切れている確率を$p$とするとき，${\mathrm{A}}^{″}$が${\mathrm{B}}^{″}$より明るい確率はいくらか．$4$個の電球それぞれが切れている事象はたがいに独立とする．

【２】　整数を${\displaystyle \sum _{i=0}^k}{a}_i{m}^i$（$a_i$は$0\text{，}1\text{，}\cdots \text{，}n$のいずれかで$n=m-1$）という形に表現する方式を$m$進法といい，この$a_i$を並べて$m$進$k+1$桁の数を${a_k\cdots a_1{a}_0|}_m$と表す．普通われわれは$10$進法を用いており，例えば，

${123|}_{10}=1\times {10}^2+2\times {10}^1+3\times {10}^0$

である．$10$進法以外と混同する恐れがない場合は，${|}_{10}$を省略して単に$123$と表記する．この方式を整数以外にも拡張すれば，${\displaystyle \sum _{i=-j}^k}{a}_i{m}^i$となる．

〔問１〕　$10$進数の$12.3$を$2$進数で表せ．

〔問２〕　図(a)は$k+1$桁の$2$進数を入力としてスイッチの状態に対応させたときに，出力の電源をⒶの部分に渡す回路である．

(1)　最小単位（$a_0=1\text{，}{a}_1=\cdots =a_k=0$）に対応する電流はいくらか．

(2)　第$i+1$桁のみが$1\text{（}{a}_0=\cdots =a_{i-1}=0\text{，}{a}_i=1\text{，}{a}_{i+1}=\cdots =a_k=0\text{）}$である場合の電流はいくらか．

(3)　最大の数（全桁が$1$）に対応する電流はいくらか．

〔問３〕　$2$進法における図(a)と同様に$k+1$桁の$m$進数に対応した電流をⒶに流す回路を，$m$個の接点を持つスイッチと$m-1$個の電池（電圧$E$）とを用いて図(b)のように作ることができる．

(1)　$a$と$b$とはそれぞれいくらにしたらよいか．

(2)　電池のうち$1$個だけに電圧の誤差があって，その電圧は$E(1+\epsilon )$であり，抵抗には全く誤差がないものとする．この誤差による出力電流の誤差が$0$でない最小の出力電流，つまり${1|}_m$に対応する電流より小さくなる$\epsilon$を求めよ．

(3)　$\epsilon$が上記の値を超えても入出力関係の逆転，つまり入力の数値が大きくなると出力の電流が減るか，入力の数値が小さくなると出力電流が増える現象が起きにくいのがこの回路の特徴である．$\left|\epsilon \right|$が非常に大きくなれば，逆転が起きるが，それは$\left|\epsilon \right|$がどのようなときか．

(4)　${10}^9$程度以上の大きな整数をこのような回路で電流に変換する場合，接点の総数が最も少なくて済むのは何進法であるか．その根拠とともに示せ．

参考：${\log }_{10}2\fallingdotseq 0.301\text{，}{\log }_{10}3\fallingdotseq 0.477$