1995　東京医科歯科大学　前期MathJax

1995-10262-0101

1995　東京医科歯科大学　前期

易□　並□　難□

【１】　袋の中に $1 ， 2 ， 3 ， 4$ の番号が書かれた球がそれぞれ $1$ 個ずつ入っている．この袋から無作為に $1$ 個取り出してはもとにもどす操作を $4$ 回くり返したときに得られる球の番号を順に $X_{1} ， X_{2} ， X_{3} ， X_{4}$ とする．行列 $A = (\begin{matrix} X_{1} & X_{2} \\ X_{3} & X_{4} \end{matrix})$ を考え， $A$ によって表される座標平面上の $1$ 次変換を $f$ とする．

(1)　 $A$ の逆行列が存在する確率を求めよ．

(2)　直線 $x + 2 y = 0$ の $f$ による像が直線となる確率を求めよ．

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1995　東京医科歯科大学　前期

易□　並□　難□

【２】　多項式の列 $f_{0} () ， f_{1} (x) ， \dots ， f_{n} (x) ， \dots$ を次のように定める．

$f_{0} (x) = 1 ， f_{n} (x) = x (f_{n - 1} (x) + \frac{d}{d x} f_{n - 1} (x)) （ n ≧ 1 ）$

また $f_{n} (x)$ の $x^{i}$ の係数を $a (n, i)$ とおく（ $i = 0 ， 1 ， \dots$ ）．

(1)　 $f_{1} (x) ， f_{2} (x) ， f_{3} (x) ， f_{4} (x)$ を求めよ．

(2)　 $a (n, i)$ を $a (n - 1, i - 1)$ と $a (n - 1, i)$ を用いて表せ（ $1 ≦ i ≦ n$ ）．

(3)　 $a (n, n - 1)$ を $n$ を用いて表せ（ $n ≧ 1$ ）．

(4)　 $a (n, n - 2)$ を $n$ を用いて表せ（ $n ≧ 2$ ）．

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易□　並□　難□

【３】　 $1$ 辺の長さが $1$ の正四面体 $ABCD$ が，三角形 $BCD$ が底面となるように平らな机の上に置いてある．辺 $CD$ の中点を $E$ とし，三角形 $ABE$ において角 $B ，$ 角 $E$ の大きさをそれぞれ $β ， γ$ とする．また辺 $AB$ 上に点 $P$ をとり，線分 $AP$ の長さを $x$ とする．

(1)　 $\cos β$ の値を求めよ．

(2)　線分 $PE$ の長さを $x$ を用いて表せ．

(3)　この四面体を，底面の $1$ 辺を軸として回転させて机の上でころがし，底面を入れかえる操作を考える．この操作を $4$ 回くり返し，次の順序で底面を入れ替えるとき，点 $P$ の軌跡の長さ $l$ を $x$ と $γ$ を用いて表せ．

$BCD ⟶ ABC ⟶ ABD ⟶ ACD ⟶ BCD$

(4)　 $l$ を最小にする $x$ の値を求め， $l$ の最小値を $γ$ を用いて表せ．

1995 東京医科歯科大学 前期MathJax

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