1995　お茶の水女子大学　A前期MathJax

【１】　$1$から$50$までの数字を書いた$50$枚のカードをよく切っておき，$1$枚抜いて出た数字を$a\text{，}$次に残りからまた$1$枚抜いて出た数字を$b$とする．$ab(a+b)$が$7$で割り切れない確率を求めよ．

【２】　$1$辺の長さが$1$の正方形を$Q_1$とし，$Q_2$は図のように$Q_1$の各辺を$3$等分し，中央の線分を$1$辺とする小正方形を$Q_1$の外側に加えて得られる図形とする．さらに，$Q_3$は$Q_2$で新たに加わった小正方形の各辺を$3$等分し，中央の線分を一辺とする小正方形を$Q_2$の外側に加えて得られる図形とし，以下同様に$Q_n\text{，}\cdots$を作る．すなわち，$2$以上の$n$に対して，$Q_{n+1}$は$Q_n$で新たに加わった小正方形の各辺を$3$等分し，中央の線分を$1$辺とする小正方形を$Q_n$の外側に加えて得られる図形とする．

(1)　$Q_n$の周の長さを求めよ．

(2)　$Q_n$の面積を求めよ．

【３】　放物線$y=-x^2+x+2$と$x$軸で囲まれる部分を$D$とする．点$(x,y)$が$D$を動くとき，次の問いに答えよ．

(1)　$x+y$の最大値，最小値を求めよ．

(2)　$xy$の最大値，最小値を求めよ．

【２】　長さ$4$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする半円を考える．弧$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{A}$から距離$1$の点${\mathrm{P}}_1$をとる．次に弧${\mathrm{P}}_1\mathrm{B}$上に点${\mathrm{P}}_1$から距離$1$の点${\mathrm{P}}_2$をとる．さらに，弧${\mathrm{P}}_2\mathrm{B}$上に点${\mathrm{P}}_2$から距離$1$の点${\mathrm{P}}_3$をとる．このように，次々に点$\mathrm{B}$に向かって点${\mathrm{P}}_i$を定めていき，${\mathrm{P}}_n$まで定められ，${\mathrm{P}}_{n+1}$は定められなかったとする．

(1)　このとき，$n$の値を求めよ．

(2)　$i$が動くとき，$3$角形${\mathrm{P}}_i\mathrm{AB}$の面積の最大値を求めよ．

【１】　$n$は$2$以上の正の整数とする．

(1)　$n$で割ると$1$余る正の整数は$n$と互いに素であることを示せ．

(2)　$(n-1)n(n+1)$の正の約数で$n$で割ると$1$余るものをすべて求めよ．

【２】　空間内に立体

$V=\{(x,y,z):x^2+y^2\leqq {(1-z)}^2\text{，}0\leqq z\leqq 1\}$

がある．

(1)　平面$z-y=k$が$V$と共有点をもつような$k$の値の範囲を求めよ．

(2)　$V$を(1)の平面で切った切り口の図形を$S_k$とし，$S_k$を$xy$平面に正射影して得られる図形を$T_k$とする．$T_k$はどのような図形か．その式を求めよ．

(3)　$k$が動くとき，$S_k$の面積の最大値を求めよ．

【３】　数列$\{a_n\}$を，次の漸化式で定める．

$\{\begin{array}{l}{a}_1=1\text{，}\\ a_{n+1}={\displaystyle \frac{c^3+b{a}_n}{b+c{a}_n}}\text{，（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}\end{array}$

ただし，$b\text{，}c$は正の実数である．

(1)　すべての$n$に対して$a_n<a_{n+1}$となるための必要十分条件を$b\text{，}c$で表せ．

(2)　(1)の条件をみたすとき，$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$があることを示しその値を求めよ．

【４】　${\displaystyle \frac{100}{120}}<\sin 1<{\displaystyle \frac{101}{120}}$を示せ．ただし，$\sin 1$の$1$は$1$ラジアンの意味である．

【５】　$x=e^{-t}\cos t\text{，}y=e^{-t}\sin t\text{（}0\leqq t\leqq \pi \text{）}$で定められた曲線を考える．

(1)　この曲線の長さを求めよ．

(2)　この曲線と$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．

【６】　$f_1(x)=1\text{，}{f}_2(x)=x\text{，}{f}_n(x)=x{f}_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)\text{（}n=3\text{，}4\text{，}\cdots \text{）}$で定められる関数の列$\{(f_n(x)\}$がある．

(1)　$f_n(x)$は$(n-1)$次の多項式であることを，数学的帰納法を用いて証明せよ．

(2)　次の等式を証明せよ．

$f_n(2\cos \theta )={\displaystyle \frac{\sin n\theta }{\sin \theta }}\text{，}0<\theta <\pi$

(3)　$f_n(x)=0$をみたす$x\text{（}-2<x<2\text{）}$をすべて求めよ．

【７】　$f(x)=x^4+x^3+x^2-2$とする．

(1)　関数$f(x)$の増減と凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．

(2)　曲線$y=f(x)$と，傾き$t$の直線$y=tx$とで囲まれる図形の面積を$S(t)$とする．導関数$S^{\prime }(t)$を，$f(x)=tx$の$2$つの実数解$\alpha (t)\text{，}\beta (t)$を用いて表せ．ただし，$\alpha (t)<\beta (t)$とする．

(3)　$S(t)$を最小にする$t$を求めよ．