1995　電気通信大学　A前期MathJax

【１】　区間$0\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$において関数$f(x)=\sqrt{3}\sin x\cos x-{\cos }^{2}x$を考える．

(1)　関数$f(x)$の最大値と最小値を求めよ．

(2)　曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　行列$A=\left(\begin{array}{cc}-1& k\\ m& 0\end{array}\right)\text{（}k>0\text{，}m<0\text{）}$で表される一次変換$f$は以下の条件(ⅰ)，(ⅱ)をみたす．

(ⅰ)　$3$点$(0,0)\text{，}(1,0)\text{，}(0,1)$の$f$による像が作る三角形の面積は${\displaystyle \frac{1}{2}}$である．

(ⅱ)　点$\mathrm{P}$が単位円周$x=\cos \theta \text{，}y=\sin \theta \text{（}0\leqq \theta \leqq 2\pi \text{）}$の上を動くとき，$\mathrm{P}$の$f$による像の$x$座標の最大値は$\sqrt{5}$である．

このとき次の問いに答えよ．

(1)　$m\text{，}k$の値を求めよ．

(2)　$A^n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を求めよ．

【３】　$xyz$空間において平面$z=1$上の$2$点$\mathrm{A}(1,1,1)\text{，}\mathrm{B}(-1,-1,1)$と平面$z=-1$上の$2$点$\mathrm{C}(1,-1,-1)\text{，}\mathrm{D}(-1,1,-1)$を頂点とする四面体$\mathrm{ABCD}$を考える．次の問いに答えよ．

(1)　$-1\leqq t\leqq 1$とするとき，平面$z=t$と$4$本の線分$\mathrm{AC}\text{，}\mathrm{AD}\text{，}\mathrm{BD}$および$\mathrm{BC}$との交点$\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}\text{，}\mathrm{G}\text{，}\mathrm{H}$の座標を求めよ．

(2)　$-1\leqq t\leqq 1$とするとき，平面$z=t$と四面体$\mathrm{ABCD}$の交わりの部分の面積$S(t)$を求めよ．

(3)　$V={\displaystyle {\int }_{-1}^1}S(t)dt$を求めよ．

【４】　二つの放物線

$C_1\text{：}y=x^2\text{，}{C}_2\text{：}y=-x^2$

の上にそれぞれ点列${\mathrm{P}}_n(a_n,{a_n}^2)\text{，}{\mathrm{Q}}_n(a_n,-{a_n}^2)\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$を次のようにとる．$a_1=1$とし，また点${\mathrm{P}}_n$における$C_1$の接線が$C_2$と交わる点のうち$x$座標が正であるものを${\mathrm{Q}}_{n+1}$とする．

(1)　$f(x)$を求めよ．

(2)　三角形${\mathrm{P}}_n{\mathrm{Q}}_n{\mathrm{Q}}_{n+1}$の面積を$S_n$とするとき，$S={\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }}{S}_n$を求めよ．

【５】　関数$f(x)$は$f(x)=\log g(x)$で表される．ただし$g(x)$は正の値しかとらない微分可能な関数で，さらに

$g^{\prime }(x)=g(x)\log \left({\displaystyle \frac{2}{g(x)}}\right)$

をみたす．

(1)　$f(x)$のみたす微分方程式を，$g(x)\text{，}{g}^{\prime }(x)$を含まない形でかけ．

(2)　$f(0)=1$となる$f(x)$を求めよ．

(3)　$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

【６】　$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$の$3$人が以下の規則で定まる順番で一つのさいころを振る．$1$回目は$\mathrm{A}$が振る．$2$回目以降は前回の結果に依存し，$n$回目に出た目が$1\text{，}2\text{，}3$のいずれかならば$n$回目と同じ人が$n+1$回目に振る．また$n$回目に出た目が，$4$ならば$\mathrm{A}$が，$5$ならば$\mathrm{B}$が，$6$ならば$\mathrm{C}$が$n+1$回目に振る（$n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots$）．$n$回目に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}$がさいころを振る確率をそれぞれ$p_n\text{，}{q}_n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　$p_2\text{，}{q}_2$を求めよ．

(2)　$p_{n+1}\text{，}{q}_{n+1}$を$p_n\text{，}{q}_n$を用いて表せ．

(3)　$p_n\text{，}{q}_n$を求めよ．