1995　横浜国立大学　前期MathJax

【１】　数列

${\displaystyle \frac{1^2}{2}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{3}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{2^2}{4}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{5}}\text{，}{\displaystyle \frac{2^2}{5}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{2^2}{n}}\text{，}\cdots \text{，}{\displaystyle \frac{{\left[{\displaystyle \frac{n}{2}}\right]}^2}{n}}\text{，}{\displaystyle \frac{1^2}{n+1}}\text{，}\cdots$

に対して，次の問いに答えよ．

　ただし，$[x]$は$x$以下の整数の中で最大のものを表す．

(1)　${\displaystyle \frac{{15}^2}{31}}$は第何項にはじめて現れるか．

(2)　初項から(1)で求めた項までの和を求めよ．

【２】　平面上に三角形$\mathrm{ABC}$があり，その内部に点$\mathrm{P}$がある．線分$\mathrm{AP}$の中点を${\mathrm{P}}_1\text{，}$線分${\mathrm{P}}_1\mathrm{B}$の中点を${\mathrm{P}}_2\text{，}$線分${\mathrm{P}}_2\mathrm{C}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．線分$\mathrm{BQ}$の中点を${\mathrm{Q}}_1\text{，}$線分${\mathrm{Q}}_1\mathrm{A}$の中点を${\mathrm{Q}}_2\text{，}$線分${\mathrm{Q}}_2\mathrm{C}$の中点を$\mathrm{M}$とする．点$\mathrm{M}$が線分$\mathrm{PQ}$の中点と一致するとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{CA}}\text{，}\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{CP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}$を$\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　三角形$\mathrm{PAC}$と三角形$\mathrm{ABC}$の面積比を求めよ．

【３】　$xy$平面上の領域

$|x|<1\text{，}|y|<1$

に円$C$が含まれ，$C$は点$(0,0)$を内部に含む．$C$の中心の座標を$(a,b)$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

(2)　(1)で求めた範囲の面積を求めよ．

【１】　$x$に関する方程式

$|{\log }_{2}x|=ax+b$

が$3$つの実数解を持ち，この$3$つの解が公比$2$の等比数列をなすとき，定数$a\text{，}b$および解を求めよ．

【２】　$xy$平面において，$f_{\theta }$を原点のまわりの角$\theta$の回転移動とし，$g$を$x$軸に関する対称移動とする．合成変換$f_{\frac{\theta }{2}}\circ g\circ f_{-\frac{\theta }{2}}$を表す行列を$A_{\theta }$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)　$A_{\theta }$を求めよ．

(2)　$5A_{\alpha }-10A_{\beta }=\left(\begin{array}{cc}3& 12\\ 12& -3\end{array}\right)$のとき$A_{\alpha }\text{，}{A}_{\beta }$を求めよ．

【３】　$xyz$空間内に同一平面上の$4$点$(0,0,0)\text{，}(1,2,-1)\text{，}(1,1,1)\text{，}(0,-1,2)$を頂点とする平行四辺形$S$がある．

　直線$x-a^2=2y+a=-z$が$S$の内部を通るような定数$a$の値の範囲を求めよ．

【４】　$x^3$の係数を$1$とする$3$次関数$f(x)$がある．曲線

$C:y=f(x)$

は，$3$点$\mathrm{P}(1,0)\text{，}\mathrm{Q}(a,0)\text{，}\mathrm{R}(b,0)$（ただし，$1<a<b$）を通る．$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{R}$における$C$の接線をそれぞれ$l\text{，}m\text{，}n$とする．次の問いに答えよ．

(1)　${\displaystyle {\int }_{-1}^2}f(x)dx$を$a\text{，}b$で表せ．

(2)　$l\perp m$のとき，$a\text{，}b$の満たす条件を求めよ．

(3)　$l\perp m$かつ$m\perp n$のとき，$a\text{，}b$を求めよ．

【１】　次の問いに答えよ．

(1)　関数$f(x)=x\sqrt{9-x^2}$の$-3\leqq x\leqq 3$における最大値と最小値を求め，$y=f(x$のグラフの概形をかけ．

(2)　$x\geqq 0$の範囲において，(1)の曲線$y=f(x)$と$x$軸で囲まれる部分の面積を求めよ．

【２】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\text{，}B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 6\end{array}\right)$

で表される$1$次変換をそれぞれ$f\text{，}g$とし，円${(x-1)}^2+y^2=1$を$C$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)　$C$は，一次変換$f$によりどんな図形に移されるか．

(2)　$C$は，$f$と$g$の合成変換$g\circ f$によりどんな図形に移されるか．

【３】　半径$1$の球を中心からの距離が$\cos \alpha (0<\alpha <{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$となる平面で$2$分する．できあがった$2$個のうち小さい方（球の中心を含まない部分）の立体図形を$K$とする．

(1)　$K$の体積を求めよ．

(2)　この立体図形$K$を平面$P$に対して角$\theta$で交わる透明な板の上に図１のように置き，平面$P$に垂直な方向から平行な光をあてたとき，$P$にできる図形$K$の影は図２のようになる．図２の影の幅$w$と$h$の比${\displaystyle \frac{w}{h}}$を求めよ．ただし，$0<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\alpha +\theta$とする．

【４】　$a\text{，}b$を正の定数とする．次の問いに答えよ．

(1)　定積分

${\displaystyle {\int }_0^a}\log (1+x)dx$

を求めよ．

(2)　不等式

$1+b+ab-e^b\leqq {\displaystyle {\int }_0^a}\log (1+x)dx$

が成り立つことを示せ．ただし，$e$は自然対数の底である．

【５】　$3n$個（$n\geqq 2$）の小箱が一列に並んでいる．おのおのの小箱には小石を$1$個だけ入れることができる．$1$番目，$2$番目，$3$番目の$3$個の小箱の中にあわせて$2$個の小箱が入っている状態を$\mathrm{A}\text{，}2$番目，$3$番目，$4$番目の$3$個の小箱の中に合わせて$2$個の小石が入っている状態を$\mathrm{B}$で表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$3n$個の小箱において，おのおのに小石が入っているかどうかを独立試行とみなすことができるとし，各小箱に確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で小石が入っているとする．事象$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が共に起こっているとき，$2$番目の小箱に小石の入っている確率を求めよ．

(2)　$3n$個の小箱から無作為に選ばれた$n$個の小箱に小石が入っているとしよう．事象$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が共に起こっているとき，$2$番目の小箱に小石の入っている確率$p_n$を求め，$\underset{n\to \infty }{\lim }{p}_n$を計算せよ．