1995　新潟大学　前期MathJax

【１】　数列$\{a_n\}$が$a_1=20\text{，}{a}_{n+1}=3a_n-20\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と定義されているとき，次の問いに答えよ．

(1)　一般項$a_n$を求めよ．

(2)　$a_n\leqq {10}^{100}$となる最大の$n$の値を求めよ．ただし，${\log }_{10}3=0.4771$とする．

【２】　$3$次関数$f(x)=x^3+a{x}^2+bx+c$について，曲線$y=f(x)$は$2$点$(1,0)$と$(0,2)$を通り，さらに放物線$y=x^2-3x+2$と点$(0,2)$で共通の接線を持っているものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$の値を求めよ．

(2)　関数$f(x)$の極大値，極小値を求め，グラフの概形をえがけ．

(3)　上の$2$つの曲線で囲まれた図形の面積を求めよ．

【３】　$1$辺の長さが$1$の正六角形の頂点を正の向きに順に$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}\text{，}\mathrm{E}\text{，}\mathrm{F}$とし，外接円の中心を$\mathrm{O}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}\text{，}\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)　$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

(2)　$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BF}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．

【４】　箱の中に$1$から$6$までの番号のついた$6$枚のカードが入っている．この中から$3$枚のカードを取りだしたときの番号の最大値を$X$とする．

(1)　$X=5$である確率を求めよ．

(2)　$X$の期待値を求めよ．

【１】　数列$\{a_n\}$が$a_1=2\text{，}{a}_{n+1}=6n+2-a_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$と定義されているとき，次の問いに答えよ．

(1)　$b_n=a_{2n}\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，一般項$b_n$を求めよ．

(2)　$c_n={\displaystyle \frac{1+{(-1)}^n}{2}}{a}_n\text{（}n=1\text{，}2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$とおくとき，一般項$c_n$を求めよ．

(3)　一般項$a_n$を求めよ．

【２】　$1$次変換$f$は点$\mathrm{P}(1,1)$を点$\mathrm{Q}(q,-q)$に移し，点$\mathrm{Q}$を点$\mathrm{R}(-r,-r)$に移すものとする．ただし$q\text{，}r$は正の数であるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$f$を表す行列を$q\text{，}r$を用いて表せ．

(2)　$f$によって点$\mathrm{R}$が移った点を$\mathrm{S}$とおくとき，さらに$f$によって点$\mathrm{S}$が点$\mathrm{P}$に移ったとする．このとき，$\mathrm{S}$の座標を$q$を用いて表せ．

【３】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2{e}^{-x}$について，次の問いに答えよ．

(1)　$f(x)$の極値，および曲線$y=f(x)$の変曲点の$x$座標を求めよ．

(2)　$x\geqq 0$のとき$e^x>{\displaystyle \frac{1}{6}}{x}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}{(x+1)}^2$であることを証明して，$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)$を求めよ．

(3)　$S(t)={\displaystyle {\int }_{-1}^t}f(x)dx\text{（}t\geqq 0\text{）}$とおくとき，$S(t)$を求めて，$\underset{n\to \infty }{\lim }S(t)$を求めよ．

【４】　箱の中に$1$から$n$までの番号のついた$n$枚のカードが入っている．この中から$1$枚取りだしたときの番号を$x\text{，}$これを箱にもどして再び$1$枚取りだしたときの番号を$y$とする．このときの$x$と$y$の最大値を$X$とする．

(1)　$X\leqq k$である確率を求めよ．ただし$k$は$1\leqq k\leqq n$となる整数とする．

(2)　$X$の確率分布を求めよ．

(3)　$X$の平均値と分散を求めよ．

【５】　空気中で物体が落下するとき，速度の大きさの$2$乗に比例した空気の抵抗を受けるとすると，時刻$t$における速度$v$は，次の微分方程式を満たす．

${\displaystyle \frac{dv}{dt}}=-g+k{v}^2$

　ただし，$g$と$k$は正の定数である．

(1)　$a\ne 0$のとき不定積分${\displaystyle \int }{\displaystyle \frac{dx}{x^2-a^2}}$を求めよ．

(2)　$t=0$での速度を$0$として，時刻$t\text{（}t\geqq 0\text{）}$における速度$v$を求めよ．ただし，$-g+k{v}^2<0$である．

【６】　座標平面上を点$\mathrm{P}$は次のように運動している．まず$\mathrm{P}$は原点${\mathrm{A}}_0(0,0)$から$x$軸上を正の向きに$1$だけ直進して${\mathrm{A}}_1(1,0)$に行き，次に${\mathrm{A}}_1$において正の向きに角$\theta \text{（}0<\theta <\pi \text{）}$だけ向きを変えて$1$だけ直進して${\mathrm{A}}_2$に行く．以後同様に${\mathrm{A}}_{n-1}$に行ったとき，正の向きに角$\theta$だけ向きを変えて$1$だけ直進して，${\mathrm{A}}_n$に行くものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　点${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{A}}_n\text{，}\cdots$は，同一円周上にあることを証明し，その円の半径を求めよ．

(2)　$\theta ={\displaystyle \frac{3}{5}}\pi$の場合の点$\mathrm{P}$の軌跡を考えて，${\displaystyle \sum _{k=1}^9}\cos {\displaystyle \frac{3k}{5}}\pi$の値を求めよ．

(3)　互いに素な正の整数$p$と$q$によって$\theta ={\displaystyle \frac{q}{p}}\pi$と表されるとき，${\mathrm{A}}_n={\mathrm{A}}_0$となる最小の正の整数$n$の値を求めよ．