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1995 金沢大学 A前期 文理共通

教育(小,聾,小学養護,言語,総合,中,中学養護),経済,理,工,医学部

易□ 並□ 難□

【1】  a を正数とし, f( x)= x2- (a+ 1) x-a g (x) =-[ x] とする.ただし,実数 x に対して, nx <n+1 を満たす整数 n [x ] で表す.

(1) 方程式 f (x )=g (x ) は区間 0 x<1 に解をもたないことを示せ.

(2) 方程式 f (x )=g (x ) が区間 1 x<2 に解をもつための a の範囲を求めよ.

1995 金沢大学 A前期 文系

教育(小,聾,小学養護,言語,総合),経済学部

易□ 並□ 難□

【2】  f( x)= - 12 x 2+1 とおく.曲線 y =f( x) 上の点 ( a,f (a )) での法線(点 ( a,f (a )) を通り接線に垂直な直線)と x 軸との交点の x 座標を g (a ) とする.

(1)  g( a) を求めよ.

(2)  b0 =a b1 =g (b0 ) b 2=g (b1 ) bm =g( bm-1 ) と順次定義するとき,一般項 b n を求めよ.

(3)  a= 12 のとき, bn < 12100 を満たす最小の自然数 n を求めよ.

1995 金沢大学 A前期 文系

教育(小,聾,小学養護,言語,総合),経済学部

易□ 並□ 難□

【3】 原点を通る平面で,点 C ( 0,6 ,0) を中心とする半径 3 の球面と交わってできる円の面積が π となるものがある.

(1) そのような平面と C との距離を求めよ.

(2) そのような平面のうち,点 A ( 2,-1 ,1) を通るものの方程式を求めよ.

1995 金沢大学 A前期 理系

理,工,医,教育(中,中学養護)学部

易□ 並□ 難□

【2】  1 次変換 f と点 P ( 1,1 ) を通る相異なる 3 直線 l 1 l 2 l3 があり, l1 y=1 l2 y=2 x-1 とする.各 l i f による像 f (li ) は, l1 l2 l3 のいずれかで相異なるものとする.

(1)  f によって点 P P に移ることを示せ.

(2)  f( l1 )=l 2 とする. l1 の方向ベクトルを a= (1 0 ) 原点 O P とを通る直線の方向ベクトルを b= (1 1 ) とし, f( a )=k a +t b とおく. f( l2) =l1 を示し, k=-1 t=2 を導け.

(3) (2)の場合に, f の行列 A を求めよ.

1995 金沢大学 A前期 理系

理,工,医,教育(中,中学養護)学部

易□ 並□ 難□

【3】  f( x)= e-x とおく.曲線 y =-f (x ) と直線 y =-x+ 1 との交点を ( a,-f (a) ) とする.曲線 y =f( x) 上に点 P 0( 0,1) P 2 P2 n を曲線 y =-f (x ) 上に点 P1 P3 P 2n+ 1 を,次のようにとる:

  n=0 1 2 に対して,直線 P2 n P2 n+1 は,点 P2 n での y =f( x) の接線になっっており,また,直線 P2 n+1 P 2n+ 2 は点 P2 n+1 での y =-f (x ) の接線になっている.

(1) 点 ( t,f (t )) での y =f( x) の接線と y =-f (x ) との交点の x 座標 g (x ) t a とを用いて表し,これより Pk k= 0 1 2 x 座標を a を用いて表せ.

(2)  y=f (x ) と直線 P2 n P2 n+1 直線 P2 n+1 P 2n+ 2 で囲まれた図形の面積を A n とするとき, {A n} は等比数列になることを示し,その公比を a を用いて表せ.

(3)  n= 0 A0 は, OP 0 P1 の面積に等しいことを示せ.ただし, O は原点である.

1995 金沢大学 A前期 理系

理,工,医,教育(中,中学養護)学部

易□ 並□ 難□

【4】 テーブル 1 2 3 4 4 枚のカード A B C D 1 枚ずつこの順に配置されている. 2 個のサイコロを同時に投げて,共に偶数の目の出たときは操作 S を行い,その他のときは操作 T を行う.ただし,操作 S は,テーブル 1 2 のカードを交換し,同時にテーブル 3 4 のカードを交換することであり,また,操作 T は,テーブル 1 3 のカードを交換し,同時にテーブル 2 4 のカードを交換することである.従って,操作 S 2 回つづけて行ったり,操作 T 2 回つづけて行ったりすれば,カードの配置はもとにもどる.

(1)  S につづいて T を行うことと, T につづいて S を行うこととは,同じであることを示せ.

(2)  3 回サイコロを投げる.テーブル 2 の上に, 2 回目の操作を終えたときカード C であり, 3 回目の操作を終えたときカード A がある確率を求めよ.

(3)  n 回サイコロを投げる. n 回目の操作を終えたとき,カード A がテーブル 2 の上にある確率を求めよ.

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