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1995-10421-0301
1995 信州大学 前期 工学部
基礎解析
易□ 並□ 難□
【1】 関数 f ⁡(x )=3 ⁢cos2 ⁡x-4 ⁢cos⁡x ⁢sin⁡x -sin2 ⁡x の 0 ≦x≦ π 2 における最大値と最小値,およびそのときの x の値を求めよ.
1995-10421-0302
【2】 初項 a 1 ( 0<a1 <π ), 公差 θ ( 0< θ<π ) の等差数列 { an } が
cos⁡( an+ an+ 1) =cos ⁡an ( n=1 ,2 ,3 , ⋯ )
を満たす.ただし, sin⁡ an ≠0 ( n=1 , 2 ,3 , ⋯ ) とする.
(1) すべての自然数 n に対して, 2⁢a n+a n+1 が 2 ⁢π の整数倍であることを示せ.
(2) a1 と θ を求めよ.
1995-10421-0303
代数・幾何
【1】 三角形 OAB において, OA=2 , OB=3 , AB= 7 とする.頂点 A から辺 OB に下ろした垂線の足を H , 線分 AH の中点を M , 直線 OM が辺 AB と交わる点を I とする. a→ =OA → ,b →= OB→ として次の問いに答えよ.
(1) a→ と b → の内積 a→⋅ b→ を求めよ.
(2) AH→ を a → と b → を用いて表せ.
(3) OI→ を a → と b → を用いて表せ.
1995-10421-0304
【2】 直線 l :x-2 =y-3 = z+1 4 上の点 P と球面 S :x2 +( y-1) 2+z 2=4 上の点 Q との距離 PQ の最小値を求めよ.また,そのときの点 P ,Q の座標を求めよ.
1995-10421-0305
微分・積分
【1】 xy 平面上の動点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として
x=e -t ⁢cos⁡ πt ,y =e- t⁢ sin⁡π ⁢t ( t≧0 )
で表されるとする.ただし, e=2.718 ⋯ は自然対数の底である.
(1) n を自然数とする.時刻 t =2⁢( n-1 ) から t =2⁢n までに点 P の通過する道のり L を求めよ.
(2) 数列 { Ln } は等比数列となることを示せ.
(3) 無限級数 ∑ n=1 ∞L n の和を求めよ.
1995-10421-0306
【2】 点 ( 1,1 ) を通る曲線 y =f⁡( x) ( x>0 ) 上の任意の点 P における接線が x 軸と交わる点を Q , 点 P から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を R とする.このとき,三角形 PQR の面積がつねに 12 となるような減少する関数 f ⁡(x ) を求めよ.