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1995 信州大学 前期 工学部

基礎解析

易□ 並□ 難□

【1】 関数 f (x )=3 cos2 x-4 cosx sinx -sin2 x 0 x π 2 における最大値と最小値,およびそのときの x の値を求めよ.

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基礎解析

易□ 並□ 難□

【2】 初項 a 1 0<a1 <π ), 公差 θ 0< θ<π の等差数列 { an }

cos( an+ an+ 1) =cos an n=1 2 3

を満たす.ただし, sin an 0 n=1 2 3 とする.

(1) すべての自然数 n に対して, 2a n+a n+1 2 π の整数倍であることを示せ.

(2)  a1 θ を求めよ.

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代数・幾何

易□ 並□ 難□

【1】 三角形 OAB において, OA=2 OB=3 AB= 7 とする.頂点 A から辺 OB に下ろした垂線の足を H 線分 AH の中点を M 直線 OM が辺 AB と交わる点を I とする. a =OA b = OB として次の問いに答えよ.

(1)  a b の内積 a b を求めよ.

(2)  AH a b を用いて表せ.

(3)  OI a b を用いて表せ.

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代数・幾何

易□ 並□ 難□

【2】 直線 l x-2 =y-3 = z+1 4 上の点 P と球面 S x2 +( y-1) 2+z 2=4 上の点 Q との距離 PQ の最小値を求めよ.また,そのときの点 P Q の座標を求めよ.

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微分・積分

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の動点 P の座標 ( x,y ) が,時刻 t の関数として

x=e -t cos πt y =e- t sinπ t t0

で表されるとする.ただし, e=2.718 は自然対数の底である.

(1)  n を自然数とする.時刻 t =2( n-1 ) から t =2n までに点 P の通過する道のり L を求めよ.

(2) 数列 { Ln } は等比数列となることを示せ.

(3) 無限級数 n=1 L n の和を求めよ.

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微分・積分

易□ 並□ 難□

【2】 点 ( 1,1 ) を通る曲線 y =f( x) x>0 上の任意の点 P における接線が x 軸と交わる点を Q P から x 軸に下ろした垂線と x 軸との交点を R とする.このとき,三角形 PQR の面積がつねに 12 となるような減少する関数 f (x ) を求めよ.

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