1995　名古屋大学　前期MathJax

【１】　$xy$平面内の中心$\mathrm{P}\text{，}$半径$r$の円$C$が次の$2$条件を満たしているとする．

　円$C$の半径$r$と中心$\mathrm{P}$の座標とを求めよ．

【２】　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{4}}$をみたすすべての$x$に対し，次の不等式が成り立っているとする．

$\sin 3x+t\sin 2x>0$

　このとき$t$の範囲を求めよ．

【３】(a)　$1$の目が出ているサイコロがある．このサイコロを等確率でいずれかの横の面の側に倒す．この操作を繰り返して$n$回目に$1$か$6$の目が出る確率を求めよ．ただし，$1$と$6$とは反対の面にあるものとする．

【３】(b)　$2$次の行列$A=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ b& ab\end{array}\right)$が条件：$A^2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$を満たしているとする．

1)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\ne \left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ならば，$A^2=O$であることを示せ．（ただし，$O$は零行列）

2)　$A\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$かつ$A^3-4A=O$であるとき，$A\text{，}{A}^2$を求めよ．

【１】　二つの円

$C_1:x^2+y^2=1\text{，}$

$C_2:{(x-3)}^2+y^2=4$

に外接し，$x$軸の上側にある半径$r\text{（}r>0\text{）}$の円の中心を${\mathrm{P}}_r$とする．ただし，二つの円が外接するとは，中心間のこりがそれぞれの円の半径の和に等しいことをいう．

1)　$r$を動かすとき，点${\mathrm{P}}_r$の描く軌跡がみたす方程式を求め，軌跡の概形を図示せよ．

2)　座標平面の原点を$\mathrm{O}$とするとき，直線$\mathrm{O}{\mathrm{P}}_r$と$x$軸とのなす角が$60°$となのは$r$がいくつのときか？

【２】　$0$以上の整数$k$に対し，

$S_k(n)=1^k+2^k+\cdots +n^k$

とおく．

1)　等式

${(n+1)}^5=1+{\displaystyle \sum _{k=0}^n{}_{5}C_k}{S}_k(n)$

がすべての正の整数$n$について成り立つことを示せ．

2)　$n$の$5$次多項式として$S_4(n)$を求めよ．

【３】　曲線$x=\log y\text{（}y>0\text{）}$を考える．この曲線上の点$\mathrm{P}$における法線と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}\text{，}\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$の中点を$\mathrm{R}$とおく．

1)　点$\mathrm{P}$が曲線上を動くとき，$\mathrm{R}$の描く軌跡がみたす方程式を求めよ．

2)　1)の軌跡，$x$軸，$2$直線$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$および$x=2+\log 2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

【４】(a)　右の図のように$4$地点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$が$4$本の道で結ばれている．

　動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{A}$を出発して，それら$4$地点間を次のルールで行き来するものとする．

a)　$\mathrm{X}$が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$のいずれかにあれば，次のステップで道の本数に応じて隣の地点に移動する．例えば$\mathrm{X}$が$\mathrm{A}$にあれば，次のステップでは$\mathrm{B}$に移動する．$\mathrm{X}$が$\mathrm{B}$にあれば，確率${\displaystyle \frac{1}{3}}$で$\mathrm{A}$に，確率${\displaystyle \frac{2}{3}}$で$\mathrm{C}$に移動する．

b)　$\mathrm{X}$がひとたび$\mathrm{D}$に移動してきたら，以後$\mathrm{D}$にとどまり続け，他には移動しない．

　$n$ステップ後に動点が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n\text{，}{b}_n\text{，}{c}_n\text{，}{d}_n$とする．次の問に答えよ．

1)　$b_1\text{，}{b}_2\text{，}{b}_3\text{，}{b}_4$を求めよ．

2)　$n$が偶数のとき$b_n=0$であることを示せ．

3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{d}_n$を求めよ．

【４】(b)　$xy$平面上の三角形$\mathrm{ABC}$が次の$2$条件を満たしているとする．

a)　各頂点の$x$座標，$y$座標はともに整数である．

b)　$3$辺の長さ$a\text{，}b\text{，}c$もすべて整数である．

　このとき$a+b+c$および$a^2+b^2+c^2$はともに偶数であることを示せ．