1995　名古屋大学　後期MathJax

【１】　空間において，点$\mathrm{P}$は直線

$l_1\text{：}x=y=z$

の上にあり，点$\mathrm{Q}$は直線

$l_2\text{：}x-(2a-1)={\displaystyle \frac{y+(2a+1)}{a}}={\displaystyle \frac{z-1}{-a}}$（$a$は$0$でない定数）

の上にあり，線分$\mathrm{PQ}$は直線$l_1$とも$l_2$とも直交している．このとき点$\mathrm{P}\text{，}\mathrm{Q}$を求めよ．

【２】　$f^{\prime }(x)=x^n+{\displaystyle {\int }_{-1}^1}f(t)dt$をみたし，かつ$f(0)=0$である関数$f(x)$を求めよ．ただし，$n$は自然数とする．

【３】　赤，青，黄，白の$4$種類のカードが$n$枚ずつあり，各色とも$1$から$n\text{（}n\geqq 4\text{）}$までの番号がつけられている．この中から同時に$4$枚のカードを抜き取るとき，$4$枚とも同じ色である確率を$P_n\text{，}4$枚のカードの番号が全部異なっていて続いている確率を$Q_n$とする．このとき$P_n<Q_n$となる最大の$n$を求めよ．

【１】　行列$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ t& 1\end{array}\right)$で表される$1$次変換による点$\mathrm{P}=(a,b)$の像を$(x(t),y(t))$とし，$t$を実数全体を動かすときの点$(x(t),y(t))$の軌跡を$L_{\mathrm{P}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)　$L_{\mathrm{P}}$を求めよ．

(2)　$a^2+b^2\ne 0$のとき，線分$\mathrm{OP}$と$L_{\mathrm{P}}$との関係を述べよ．ただし，$\mathrm{O}$は原点とする．

(3)　正の数$a$を固定して$b$を実数全体を動かすとき，軌跡$L_{\mathrm{P}}$の動く範囲を求め，図示せよ．

【２】　$a\text{，}b$を正の定数とするとき，不等式

$(ax+b)\log (ax+b)-b\log b\geqq cx$

がすべての$x\geqq 0$に対して成り立つような$c$の範囲を求めよ．

【３】　$f^{\prime }(x)=\sin x+{\displaystyle {\int }_{-\pi }^{\pi }}f(t)dt$をみたし，かつ$f(0)=0$である関数$f(x)$を求めよ．

【１】　球面$S\text{：}{x}^2+y^2+z^2-2x-4y-4=0\text{，}$平面$K\text{：}x+2y-2z=k$について次の問いに答えよ．ただし，$k$は定数である．

(1)　$S$と$K$が共有点を持つための$k$の範囲を求めよ．

(2)　$S$と$K$が交わってできる円を底面とし，$S$の中心を頂点とする円錐の体積を最大にする$k$の値を求めよ．

【２】　$a$を正の定数とする．$f(x)=x^2-a$として，グラフ$y=f(x)$上の点$(x_n,f(x_n))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$x_{n+1}$とする．このようにして，$x_1$から順に$x_1\text{，}{x}_2\text{，}{x}_3\text{，}\cdots$を作るとき，次の問いに答えよ．ただし，$x_1>\sqrt{a}$とする．

(1)　$x_{n+1}$を$x_n$を用いて表せ．

(2)　$\sqrt{a}<x_{n+1}<x_n$であることを示せ．

(3)　$|x_{n+1}-\sqrt{a}|<{\displaystyle \frac{1}{2}}|x_n-\sqrt{a}|$であることを示せ．

(4)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n$を求めよ．

【３】　原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$3a$の円$C$に半径$a$の円$C^{\prime }$が内接して滑らないで転がって移動するものとする．円$C^{\prime }$の周上に固定された点$\mathrm{P}$がある．はじめ円$C^{\prime }$の中心${\mathrm{O}}^{\prime }$が$(2a,0)$に，また点$\mathrm{P}$が$(3a,0)$にあったとし，円$C^{\prime }$が円$C$の内部を反時計まわりに一周してもとの位置に戻るものとすると，点$\mathrm{P}$は右図に示すような軌跡を描く．次の問いに答えよ．

(1)　$\mathrm{O}{\mathrm{O}}^{\prime }$が$x$軸の正の方向となす角を$t$とおく．円$C$と円$C^{\prime }$の接点を$\mathrm{T}$とするとき，$\mathrm{\angle T}{\mathrm{O}}^{\prime }\mathrm{P}$の大きさを$t$で表せ．また，点$\mathrm{P}$の位置$(x,y)$を$t$を用いて表せ．

(2)　点$\mathrm{P}$の軌跡で囲まれる図形の面積を求めよ．

【４】　頂点が$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}\text{，}\mathrm{D}$である図のような正方形がある．点$\mathrm{X}$ははじめ頂点$\mathrm{A}$にあり，もう$1$つの点$\mathrm{Y}$ははじめ頂点$\mathrm{C}$にある．いずれの点も$1$ステップごとに等確率で隣接する頂点のどちらかに移動するものとする．次の問いに答えよ．ただし，$n\geqq 1$とする．

(1)　$n$ステップ後に点$\mathrm{X}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

(2)　$n$ステップ後に点$\mathrm{X}$と点$\mathrm{Y}$が共に頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．

　以下の問いでは点$\mathrm{X}$と点$\mathrm{Y}$が同じ頂点に移動した場合には点が消滅するものとする．

(3)　$n$ステップの移動後にも点が存在する確率を求めよ．

(4)　$n$ステップの移動後に点が消滅するとき，点の寿命は$n-1$であるという．このとき，点の平均寿命を求めよ．