1995　名古屋工業大学　前期MathJax

【１】　直線

$l:x-1={\displaystyle \frac{y+1}{3}}=1-z$

を含み，球面

$S:x^2+y^2+z^2-4x+8y-12z+50=0$

に接する平面の方程式を求めよ．

【２】　行列

$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& 1\end{array}\right)$（$a\text{，}b\text{，}c$は定数で$a>0\text{，}b>0\text{，}c<0$）

で表される$1$次変換$f$によって，原点を中心とし半径$1$の円が，面積$5\pi$の円に移るとする．このとき次の問に答えよ．

(1)　$a\text{，}b\text{，}c$を求めよ．

(2)　中心$(p,q)\text{，}$半径$r$の円の$f$による像はどのような曲線か．

【３】　$xy$平面上で$2$点$\mathrm{O}(0,0)\text{，}\mathrm{A}(1,0)$を結ぶ線分を$n$等分して，その分点を$\mathrm{O}$に近いものから順に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$とし，${\mathrm{P}}_n=\mathrm{A}$とする．点${\mathrm{P}}_i$から放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$へ引いた$x$軸とは異なる接線$L_i$の放物線$y={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^2$との接点を${\mathrm{Q}}_i\text{，}{L}_i$と直線$x=2$との交点を${\mathrm{R}}_i$とする（$i=1\text{，}2\text{，}\cdots \text{，}n$）．このとき次の問に答えよ．

(1)　点${\mathrm{Q}}_i$および${\mathrm{R}}_i$の座標を求めよ．

(2)　$3$点$\mathrm{B}(2,0)$および${\mathrm{Q}}_i\text{，}{\mathrm{R}}_i$を頂点とする三角形$\mathrm{B}{\mathrm{Q}}_i{\mathrm{R}}_i$の面積$S_i$を求めよ．

(3)　$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n}}{\displaystyle \sum _{i=0}^n}{S}_i$を求めよ．

【４】　$t$は$0\leqq t\leqq {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$をみたす実数とする．$xyz$空間内の$4$つの点

$\mathrm{O}(0,0,0)\text{，}\mathrm{A}({\cos }^{3}t,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,{\sin }^{3}t,1)\text{，}\mathrm{C}(0,0,1)$

をこの順に結んでできる折れ線$\mathrm{OABC}$を$z$軸のまわりに$1$回転して得られる立体$\mathrm{R}$の体積を$V(t)$とする．このとき次の問に答えよ．

(1)　点$(0,0,z)$（ただし$0\leqq z\leqq 1$）を通り$z$軸に垂直な平面$P$による回転体$R$の切口の面積$S(z)$を求めよ．

(2)　$V(t)$を求めよ．

(3)　$t$が，$0\leqq t<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$の範囲で変化するとき，$V(t)$の最大値および最小値を求めよ．