1995　京都大学　後期MathJax

【１】　自然数$n$に対して，$x^n$を$x^2+ax+b$で割った余りを$r_{n}x+s_n$とする．次の$2$条件(イ)，(ロ)を考える．

(イ)　$x^2+ax+b=(x-\alpha )(x-\beta )\text{，}\alpha >\beta >0$と表せる．

(ロ)　すべての自然数$n$に対して$r_n<r_{n+1}$が成り立つ．

(1)　(イ)，(ロ)がみたされるとき，すべての自然数$n$に対して$\beta -1<{\left({\displaystyle \frac{\alpha }{\beta }}\right)}^n(\alpha -1)$が成り立つことを示せ．

(2)　実数$a\text{，}b$がどのような範囲にあるとき(イ)，(ロ)がみたされるか．必要十分条件を求め，点$(a,b)$の存在する範囲を図示せよ．

【２】　$\mathrm{O}$を中心とする円周上に相異なる$3$点${\mathrm{A}}_0\text{，}{\mathrm{B}}_0\text{，}{\mathrm{C}}_0$が時計回りの順に置かれている．自然数$n$に対し，点${\mathrm{A}}_n\text{，}$${\mathrm{B}}_n\text{，}$${\mathrm{C}}_n$を次の規則で定めていく．

(イ)　${\mathrm{A}}_n$は弧${\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}$を$2$等分する点である．（ここで弧${\mathrm{A}}_{n-1}{\mathrm{B}}_{n-1}$は他の点${\mathrm{C}}_{n-1}$を含まないほうを考える．以下においても同様である．）

(ロ)　${\mathrm{B}}_n$は弧${\mathrm{B}}_{n-1}{\mathrm{C}}_{n-1}$を$2$等分する点である．

(ハ)　${\mathrm{C}}_n$は弧${\mathrm{C}}_{n-1}{\mathrm{A}}_{n-1}$を$2$等分する点である．

　$\angle {\mathrm{A}}_n\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n$の大きさを$a_n$とする．ただし，$\angle {\mathrm{A}}_n\mathrm{O}{\mathrm{B}}_n$は点${\mathrm{C}}_n$を含まないほうの弧${\mathrm{A}}_n{\mathrm{B}}_n$の中心角を表す．

(1)　すべての自然数$n$に対して$4a_{n+1}-2a_n+a_{n-1}=2\pi$であることを示せ．

(2)　すべての自然数$n$に対して$a_{n+2}={\displaystyle \frac{3}{4}}\pi -{\displaystyle \frac{1}{8}}{a}_{n-1}$であることを示せ．

(3)　$a_{3n}$を$a_0$で表せ．

【３】　$a\text{，}b\text{，}c$は実数で$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0\text{，}c\geqq 0$とする．

$p(x)=a{x}^2+bx+c\text{，}q(x)=c{x}^2+bx+a$

とおく．$-1\leqq x\leqq 1$をみたすすべての$x$に対して$|p(x)|\leqq 1$が成り立つとき，$-1\leqq x\leqq 1$をみたすすべての$x$に対して$|q(x)|\leqq \mathrm{１}$が成り立つことを示せ．

【４】　自然数$n$の関数$f(n)\text{，}g(n)$を

$f(n)=n\text{を}7\text{で割った余り，}g(n)=3f\left({\displaystyle \sum _{k=1}^7}{k}^n\right)$

によって定める．

(1)　すべての自然数$n$に対して$f(n^7)=f(n)$を示せ．

(2)　あなたの好きな自然数$n$を$1$つ決めて$g(n)$を求めよ．その$g(n)$の値をこの設問(2)におけるあなたの得点とする．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームを行う．$\mathrm{A}$はそれぞれ$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}3$と書かれた$4$枚の札をもっている．$\mathrm{B}$はそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$3$と書かれた$3$枚の札をもっているとする．第$1$回目に$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の持札から$1$枚の札をとり，もし番号が一致する札があればその$2$枚の札をその場に捨てる．番号が一致しない札はそのまま持ち続ける．次に$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$の持札から$1$枚の札をとり，$\mathrm{B}$と同じ手続きをする．こうして一方の札がなくなるまでゲームを続ける．ただし相手の札をとるとき，どの札も等しい確率でとるものとする．

　$\mathrm{B}$が$2$回目の手続きを終えたとき，場に捨てられた札の総数を$2X$とする．確率変数$X$の分布を求めよ．

【３】　 　$a\text{，}b\text{，}c$は実数で$a\geqq 0\text{，}b\geqq 0$とする．

$p(x)=a{x}^2+bx+c\text{，}q(x)=c{x}^2+bx+a$

とおく．$-1\leqq x\leqq 1$をみたすすべての$x$に対して$|p(x)|\leqq 1$が成り立つとき，$-1\leqq x\leqq 1$をみたすすべての$x$に対して$|q(x)|\leqq 2$が成り立つことを示せ．

【４】(1)　平面ベクトル$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\text{，}\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$から$2$行$2$列の行列$P=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right)$をつくる．$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$のどの一方も他方の実数倍ではないとき，$P$は逆行列をもつことを示せ．

(2)　$B=\left(\begin{array}{cc}p& b\\ c& -p\end{array}\right)$は単位行列の実数倍ではないとする．このとき設問(1)のようにして作った$P$が逆行列$P^{-1}$をもち$P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}0& p^2+bc\\ 1& 0\end{array}\right)$が成り立つようなベクトル$\overrightarrow{x}\text{，}$$\overrightarrow{y}$があることを示せ．

(3)　$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$は単位行列の実数倍ではなく，$A^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)$も単位行列の実数倍ではないとする．$A\text{，}$$A^{\prime }$が$a+d=a^{\prime }+d^{\prime }\text{，}$$ad-bc=a^{\prime }{d}^{\prime }-b^{\prime }{c}^{\prime }$をみたせば，$P^{-1}AP=A^{\prime }$となる$P$があることを示せ．

【５】　$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人が次のようなゲームを行う．$n$を自然数とし，$\mathrm{A}$はそれぞれ$0\text{，}$$1\text{，}$$2\text{，}\cdots \text{，}$$n$と書かれた$(n+1)$枚の札をもっている．$\mathrm{B}$はそれぞれ$1\text{，}$$2\text{，}$$\cdots \text{，}$$n$と書かれた$n$枚の札をもっているとする．第$1$回目に$\mathrm{B}$が$\mathrm{A}$の持札から$1$枚の札をとり，もし番号が一致する札があればその$2$枚の札をその場に捨てる．番号が一致しない札はそのまま持ち続ける．次に$\mathrm{B}$に持札があれば$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$の持札から$1$枚の札をとり，$\mathrm{B}$と同じことをする．こうして先に札のなくなったほうを勝とする．$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p_n\text{，}$$\mathrm{B}$が勝つ確率を$q_n$とする．

　ただし相手の札をとるとき，どの札も等しい確率でとるものとする．

(1)　$p_1\text{，}{p}_2\text{，}{q}_1\text{，}{q}_2$を求めよ．

(2)　$p_n+q_n=1\text{，}(n+2)p_n-n{p}_{n-2}=1\text{，}$$\text{（}n=3\text{，}$$4\text{，}$$5\text{，}$$\cdots \text{）}$であることを示せ．

(3)　$p_n$を求めよ．

【６】　曲線$C\text{：}y={\displaystyle \frac{1}{x}}\text{（}x>0\text{），}3$点$\mathrm{A}=(a,0)\text{，}$$\mathrm{R}=(4,0)\text{，}$$\mathrm{Q}=(0,2)$を考える．ただし$0<a<4$とする．点$\mathrm{A}$から$C$に接線$L_a$をひき，その$y$軸との交点を$\mathrm{B}\text{，}$原点を$\mathrm{O}$とする．

(1)　直線$\mathrm{PQ}$が接線$L_a$と第$1$象限の点$\mathrm{M}=(x_0,y_0)\text{，}$$x_0>0\text{，}$$y_0>0$で交わるための必要十分条件を求めよ．

　設問(1)の条件がみたされているとき，四角形$\mathrm{OAMQ}$の面積を$T\text{，}▵\mathrm{ARM}$の面積を$S_1\text{，}$$▵\mathrm{BQM}$の面積を$S_2$とする．

(2)　$r=S_1+S_2\text{，}m=S_1{S}_2$とおくとき，点$(r,m)$の存在する範囲を図示せよ．