1995　京都工芸繊維大学　後期MathJax

【１】　空間の$2$点$\mathrm{A}(1,0,0)\text{，}\mathrm{B}(0,1,1)$を通る平面を$\alpha$とする．点$\mathrm{O}(0,0,0)$と平面$\alpha$との距離を$r\text{，}$点$\mathrm{C}(0,1,0)$と平面$\alpha$との距離を$s$とする．$r$と$s$の積を最大にする平面$\alpha$の方程式を求めよ．

【２】　曲線$y=-\sqrt{x}\text{（}x\geqq 0\text{）}$が行列$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ a& 1\end{array}\right)\text{（}a>0\text{）}$の表す$1$次変換によって移された曲線を$C$とする．曲線$C$と曲線$D\text{：}y=\sqrt{x}-2\text{（}x\geqq 0\text{）}$がただ$1$つの共有点$\mathrm{P}$をもつとする．

(1)　$a$の値および点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

(2)　$2$曲線$C\text{，}D$および$y$軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

【３】　平面上の点$\mathrm{P}(a,b)$を考える．放物線$y={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^2$の法線で点$\mathrm{P}$を通るものがちょうど$3$本となるための$a\text{，}b$の条件を求めよ．また，そのような点$\mathrm{P}$の存在する範囲を図示せよ．

【４】　$x>0$で定義された連続関数$f(x)$が関係式

$f(x)=x{\displaystyle {\int }_0^{x-1}}{e}^{t}f(x-t)dt-x{e}^x\text{（}x>0\text{）}$

を満たすとき，$f(x)$を求めよ．

【５】　さいころを$n$回投げるとき，$k$回目に出る目の数を$X_k$とし，$Y_n$を$X_1\text{，}{X}_2\text{，}\cdots \text{，}{X}_n$の積とする．

(1)　$Y_n$が$3$の倍数でない確率を求めよ．

(2)　$Y_n$が$3$の倍数であるが，$15$の倍数ではない確率を求めよ．

【６】　半径$1$の円周を$n$等分する．ただし，$n\geqq 2$である．分点の$1$つを${\mathrm{P}}_0$とし，残りの分点を${\mathrm{P}}_0$から反時計回りに順番に${\mathrm{P}}_1\text{，}{\mathrm{P}}_2\text{，}\cdots \text{，}{\mathrm{P}}_{n-1}$とする．$1\leqq k\leqq n-1$である$k$に対して，点${\mathrm{P}}_0$から反時計回りにとった円弧${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$と弦${\mathrm{P}}_0{\mathrm{P}}_k$で囲まれた部分の面積を$S_k$とする．$\underset{n\to \infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{n^2}}{\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}}k{S}_k$を求めよ．