1995　大阪大学　後期MathJax

【１】　関数$f(x)={\displaystyle \frac{1}{4}}{x}^4+a_1{x}^3+a_2{x}^2+a_{3}x+1$が$x=\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma \text{（}\alpha <\beta <\gamma \text{）}$で極値をとるものとする．

　また曲線$y=f(x)$上の点$\mathrm{A}=(\alpha ,f(\alpha ))\text{，}\mathrm{B}=(\beta ,f(\beta ))\text{，}\mathrm{C}=(\gamma ,f(\gamma ))$を考える．

(1)　$a_1\text{，}{a}_2\text{，}{a}_3$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$を用いて表せ．

(2)　直線$\mathrm{AB}$の傾きを$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$で表し，因数分解せよ．

(3)　$\alpha \text{，}\beta \text{，}\gamma$が等差数列をなし，かつ直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{BC}$が直交するとき$\beta -\alpha$を求めよ．

(4)　さらに，曲線$y=f(x)$が$y$軸に関して対称であるとき$3$点$\mathrm{A}\text{，}\mathrm{B}\text{，}\mathrm{C}$をとおり$y$軸に平行な対称軸をもつ放物線を求めよ．

【２】(1)　平面$H\text{：}ax+ay+bz=1\text{（}ab\ne 0\text{）}$を考える．一般に点$\mathrm{P}(x,y,0)$に対し，$\mathrm{P}$をとおり$H$に垂直な直線が$H$と交わる点を$\mathrm{Q}(X,Y,Z)$とする．次の等式が成り立つように$k\text{，}l\text{，}m\text{，}{k}^{\prime }\text{，}{l}^{\prime }\text{，}{m}^{\prime }$を定めよ．

$X=kx+ly+m\text{，}Y=k^{\prime }x+l^{\prime }y+m^{\prime }$

(2)　点$(x,y)$に点$(X,Y)=(kx+ly+m,k^{\prime }x+l^{\prime }y+m^{\prime })$を対応させる写像を$f$とおく．

　いま，点$\mathrm{A}(\alpha ,\beta )$から始めて点${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots$を${\mathrm{A}}_1=\mathrm{A}\text{，}{\mathrm{A}}_n=f({\mathrm{A}}_{n-1})\text{（}n=2\text{，}3\text{，}\cdots \text{）}$により定める．${\mathrm{A}}_n$の$x$座標および$y$座標をそれぞれ$x_n\text{，}{y}_n$とする．

(ⅰ)　${\mathrm{A}}_1\text{，}{\mathrm{A}}_2\text{，}\cdots$はすべて同一直線上にあることを示せ．

(ⅱ)　$x_n\text{，}{y}_n$を$n\text{，}\alpha \text{，}\beta \text{，}a\text{，}b$で表せ．また$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n\text{，}\underset{n\to \infty }{\lim }{y}_n$を$\alpha \text{，}\beta \text{，}a\text{，}b$で表せ．

【３】　$2$つの曲線

$C_1\text{：}y=x^{\frac{3}{2}}\text{（}x\geqq 0\text{），}{C}_2\text{：}y=x^{\frac{3}{2}}{e}^{-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}}\text{（}x\geqq 0\text{）}$

を考える．$0\leqq t\leqq 1$の範囲の$t$に対し，$C_1\text{，}{C}_2$と直線$x=t$とで囲まれた図形を$D_1\text{，}{C}_2$と$3$直線$y=0\text{，}x=t\text{，}x=1$とで囲まれた図形を$D_2$とする．$D_1$と$D_2$を$x$軸のまわりに一回転してできる回転体の体積をそれぞれ$V_1(t)\text{，}{V}_2(t)$とする．

(1)　$V(t)=V_1(t)+V_2(t)$を求めよ．

(2)　$V(t)$を最小にする$t$を求めよ．

【２】　空間内に方程式$x+y+z=3$で表される平面$H$がある．$xy$平面上の点${\mathrm{A}}_1$が与えられたとき$H$上の点${\mathrm{B}}_1\text{，}{\mathrm{B}}_2\text{，}\cdots \text{，}xy$平面上の点${\mathrm{A}}_2\text{，}{\mathrm{A}}_3\text{，}\cdots$を順次以下のように定める．

　${\mathrm{A}}_1$をとおり$H$に垂直な直線と$H$との交点を${\mathrm{B}}_1$とし，${\mathrm{B}}_1$をとおり平面に垂直な直線と$xy$平面の交点を${\mathrm{A}}_2$とする．同様に${\mathrm{A}}_n\text{（}n\geqq 2\text{）}$をとおり$H$に垂直な直線と$H$との交点を${\mathrm{B}}_n$とし，${\mathrm{B}}_n$をとおり$xy$平面に垂直な直線と$xy$平面の交点を${\mathrm{A}}_{n+1}$とする．

(1)　${\mathrm{A}}_n$の$x$座標および$y$座標をそれぞれ$x_n\text{，}{y}_n$とするとき，$x_{n+1}=a{x}_n+b{y}_n+c\text{，}{y}_{n+1}=a^{\prime }{x}_n+b^{\prime }{y}_n+c^{\prime }$が成り立つように定数$a\text{，}b\text{，}c\text{，}{a}^{\prime }\text{，}{b}^{\prime }\text{，}{c}^{\prime }$を定めよ．

(2)　点${\mathrm{A}}_1(x_1,y_2,0)$をとおり平面$H$および$xy$平面と直交する平面の方程式を求めよ．

(3)　三角形${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{A}}_2$と三角形${\mathrm{A}}_2{\mathrm{B}}_2{\mathrm{A}}_3$の面積の比を求めよ．

(4)　$x_n\text{，}{y}_n$を$x_1\text{，}{y}_1\text{，}n$で表せ．