1995　大阪教育大　0105解答MathJax

【５解答】(1)

$E(X)=\mathit{a}\mathit{p}\mathbf{+}\mathit{b}\mathit{q}$

$V(X)=E(X^2)-{\{E(X)\}}^2$$=(a^{2}p+b^{2}q)-{(ap+bq)}^2$$=a^{2}p(1-p)-2abpq+b^{2}q(1-q)$$=a^{2}pq-2abpq+b^{2}pq\text{（}p+q=1\text{より）}$

$={\mathbf{(}\mathit{a}\mathbf{-}\mathit{b}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathit{p}\mathit{q}$

(2)　$X=a$のとき，

$X-E(X)=a-(ap+bq)$$=a(1-p)-bq$

$=(a-b)q$

$\text{（}p+q=1$より$1-p=q\text{，}$ $a>b$より正）

　$X=b$のとき，

$X-E(X)=b-(ap+bq)$$=-ap+(1-q)b$

$=-(a-b)p$

$\text{（}p+q=1$より$1-q=p\text{，}$ $a>b$より負）

であるから，

[１]　$\mathbf{0}<\mathit{t}\leqq (\mathit{a}-\mathit{b})\mathit{q}$のとき

$P(X-E(X)\geqq t)=\mathit{p}$

[２]　$(\mathit{a}-\mathit{b})\mathit{q}<\mathit{t}$のとき

$P(X-E(X)\geqq t)=\mathbf{0}$

(3)[１]　$0<t\leqq (a-b)q$のとき，

　$t^2\leqq {(a-b)}^2{q}^2\cdots \text{①}$かつ$(\text{左辺})=p$であるから，

$(\text{右辺})-(\text{左辺})={\displaystyle \frac{{(a-b)}^{2}pq}{{(a-b)}^{2}pq+t^2}}-p$

$\geqq {\displaystyle \frac{{(a-b)}^{2}pq}{{(a-b)}^{2}pq+{(a-b)}^2{q}^2}}-p$【$\text{①}$より】

$={\displaystyle \frac{p}{p+q}}-p$$=p-p$ $\text{（}p+q=1$より）

$=0$

より，$(\text{左辺})\leqq (\text{右辺})$が成り立つ．

[２]　$(a-b)q<t$のとき，

　$(\text{左辺})=0$かつ$(\text{右辺})$は$V(X)>0$より正であるから，

常に$(\text{左辺})<(\text{右辺})$が成り立つ．

　[1][2]より，全ての$t$$\text{（}>0\text{）}$で不等式は成り立つ．

解答はDYさんによる(2023/11/15)