Mathematics
Examination
Test
Archives
METAトップへ
年度一覧へ
1995年度一覧へ
大学別一覧へ
大阪教育大学一覧へ
1995-10565-0101
1995 大阪教育大学 前期
数学系,理科系,情報系
易□ 並□ 難□
【1】 xy 平面上の 2 点を A ( 1,0 ), B (2 ,0) とし,直線 l を y =m⁢x ( m≠ 0 ) とする.
(1) AP+BP が最小になる直線 l 上の点 P の x 座標, y 座標を m で表せ.
(2) m が変化するとき,点 P の描く図形を求めよ.
1995-10565-0102
数学系
【2】 自然数 n に対し,関数 f ⁡(x ) を
f⁡( x)= |x- 1|+ |x- 14 | + |x- 19 | + ⋯+| x- 1n2 |
とする. f⁡( x) の最小値を与える x をすべて求めよ.
1995-10565-0103
【3】 立方体 ABCD ‐EFGH がある.ここで, A (0 ,0,0 ), B (1 ,0,0 ), C (1 ,1,0 ), D (0 ,1,0 ), E (0 ,0, 1) , F (1 ,0,1 ), G (1 ,1,1 ), H (0 ,1,1 ) とする.動点 P ,Q がそれぞれ時刻 t =0 に点 E ,B を出発し,線分 EF , BC 上を毎秒 1 の速度で動く.線分 PQ が描く曲面によって切り取られる立方体の部分のうち,線分 FB を含む方を V とする.
(1) 時刻 t ( 0≦ t≦1 ) における直線 PQ の方程式を求めよ.
(2) 平面 z =k ( 0≦k≦ 1) による V の切断面の面積 S ⁡(k ) を求めよ.
(3) V の体積を求めよ.
1995-10565-0104
数学系・情報系
【4】 n を自然数とするとき,以下の設問に答えよ.
(1) x≠1 のとき,
1 1+x =1- x+x2 -x3 + ⋯+ (-1 )n -1⁢ xn-1 +( -1) n⁢ xn 1+x
を示せ.
(2) 不等式
∫ 01 x n1+x ⁢ dx< 1n+1
が成り立つことを示せ.
(3) (1),(2)を用いて,
log⁡2 =1- 12+ 13 - 14 + ⋯+ (- 1)k -1⁢ 1k+ ⋯
1995-10565-0105
DYさんによる解答
【5】 X は 2 つの値 a , b ( a>b ) をそれぞれ確率 p , q でとる確率変数とする.ただし, 0<p <1 ,p+ q=1 とする.
(1) X の期待値 E ⁡(X ) と分散 V ⁡(X ) を求めよ.
(2) t>0 に対し,確率 P ⁡(X -E⁡( X)≧ t) を求めよ.
(3) t>0 に対し,不等式
P⁡( X-E⁡ (X) ≧t) ≦ V⁡( X) V⁡( X)+ t2
1995-10565-0106
理科系
【6】 4 次関数 y =x4 +a⁢x 3+b⁢ x2+ c⁢x+ d は,極大値 2 , 極小値 1 をもち.,そのグラフは y 軸に関して対称とする.このとき, a ,b , c ,d の値を求めよ.
1995-10565-0107
理科系・情報系
【7】 xyz‐ 座標空間の 2 点 A ( 1,0, 0) ,B ( 2,-1 ,0) を通り, z 軸に接する球面のうち,半径が最小のものの方程式を求めよ.
1995-10565-0108
情報系
【8】 正四面体 ABCD の辺 AB , AC , AD , BC , CD , DB の中点を,それぞれ, M , P , Q , R , S , T とし, MP→ =p→ , MQ→ =q→ , MR→ =r→ とする.
(1) MS→ を q→ , r→ で表せ.
(2) PS→ を p→ , q→ , r→ で表せ.
(3) 内積 MP→ ⋅PS→ を計算して, MP→ ⊥PS → を示せ.