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1995 大阪教育大学 前期

数学系,理科系,情報系

易□ 並□ 難□

【1】  xy 平面上の 2 点を A ( 1,0 ) B (2 ,0) とし,直線 l y =mx m 0 とする.

(1)  AP+BP が最小になる直線 l 上の点 P x 座標, y 座標を m で表せ.

(2)  m が変化するとき,点 P の描く図形を求めよ.

1995 大阪教育大学 前期

数学系

易□ 並□ 難□

【2】 自然数 n に対し,関数 f (x )

f( x)= |x- 1|+ |x- 14 | + |x- 19 | + +| x- 1n2 |

とする. f( x) の最小値を与える x をすべて求めよ.

1995 大阪教育大学 前期

数学系

易□ 並□ 難□

1995年大阪教育大前期【3】1995105650103の図

【3】 立方体 ABCD EFGH がある.ここで, A (0 ,0,0 ) B (1 ,0,0 ) C (1 ,1,0 ) D (0 ,1,0 ) E (0 ,0, 1) F (1 ,0,1 ) G (1 ,1,1 ) H (0 ,1,1 ) とする.動点 P Q がそれぞれ時刻 t =0 に点 E B を出発し,線分 EF BC 上を毎秒 1 の速度で動く.線分 PQ が描く曲面によって切り取られる立方体の部分のうち,線分 FB を含む方を V とする.

(1) 時刻 t 0 t1 における直線 PQ の方程式を求めよ.

(2) 平面 z =k 0k 1 による V の切断面の面積 S (k ) を求めよ.

(3)  V の体積を求めよ.



1995 大阪教育大学 前期

数学系・情報系

易□ 並□ 難□

【4】  n を自然数とするとき,以下の設問に答えよ.

(1)  x1 のとき,

1 1+x =1- x+x2 -x3 + + (-1 )n -1 xn-1 +( -1) n xn 1+x

を示せ.

(2) 不等式

01 x n1+x dx< 1n+1

が成り立つことを示せ.

(3) (1),(2)を用いて,

log2 =1- 12+ 13 - 14 + + (- 1)k -1 1k+

を示せ.

1995-10565-0105

DYさんによる解答

1995 大阪教育大学 前期

数学系

易□ 並□ 難□

【5】  X 2 つの値 a b a>b をそれぞれ確率 p q でとる確率変数とする.ただし, 0<p <1 p+ q=1 とする.

(1)  X の期待値 E (X ) と分散 V (X ) を求めよ.

(2)  t>0 に対し,確率 P (X -E( X) t) を求めよ.

(3)  t>0 に対し,不等式

P( X-E (X) t) V( X) V( X)+ t2

が成り立つことを示せ.

1995 大阪教育大学 前期

理科系

易□ 並□ 難□

【6】  4 次関数 y =x4 +ax 3+b x2+ cx+ d は,極大値 2 極小値 1 をもち.,そのグラフは y 軸に関して対称とする.このとき, a b c d の値を求めよ.

1995 大阪教育大学 前期

理科系・情報系

易□ 並□ 難□

【7】  xyz 座標空間の 2 A ( 1,0, 0) B ( 2,-1 ,0) を通り, z 軸に接する球面のうち,半径が最小のものの方程式を求めよ.

1995 大阪教育大学 前期

情報系

易□ 並□ 難□

【8】 正四面体 ABCD の辺 AB AC AD BC CD DB の中点を,それぞれ, M P Q R S T とし, MP =p MQ =q MR =r とする.

(1)  MS q r で表せ.

(2)  PS p q r で表せ.

(3) 内積 MP PS を計算して, MP PS を示せ.

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